初中数学实践活动与数学能力培养的探究

内容提要：本文主要阐述了教师在教学过程中引导学生积极参与实践活动，使学生提高学习兴趣，加深对概念、性质的理解等，培养其能力，具体在实践中培养探索能力；在实践中巩固反思能力；在实践中发展思维能力；在实践中提高创新能力。
 关键词：实践活动　探索能力　反思能力　思维能力　创新能力

 《数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。当代最著名的数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考，思路合理，见解独到和有发明创造的题。因此，数学教学过程中，教师要有意识地为学生创造条件，让学生通过参加教学实践活动，发现、理解和掌握知识，培养学生的数学能力。笔者在课堂教学中经过几年的不断探索，认为重视能力的培养从以下几方面进行教学。
 一、在实践中培养探索能力
 探索性题型在近几年的招生考试中屡见不鲜，而现在部分初中生由于缺乏探索意识和能力，在解答此类问题时感到束手无策，只能望“题”兴叹，因此必须加强探索性问题的实践教学。编拟探索性问题，如已知如图1，C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，证明AN＝BM。可以探究：(1)点C的位置的变化；(2)等边△ACM、△CBN与线段AB相对位置的变化；(3)三角形图形的变化，如变化为正方形、正五边形、正六边形，或变化为等腰三角形等；(4)从有公共顶点的两个等边三角形到任意正多边形的旋转变化等；(5)还可以从上述各种情况的组合上进行变化，探究其对题目结论的影响。又如在《勾股定理》证明教学中，我就充分利用教材中数学实验，发挥学生主动性，通过探索“割、补”法求面积来证明勾股定理。观察浙教版教材八(上)特殊三角形中阅读材料图形，如果每一小方格表示1cm2，那么可以得到：(1)正方形P的面积＝　　正方形Q的面积＝　　正方形R的面积＝　　我们发现，正方形P、Q、R面积之间的关系是　　　。由此，我们得到三角形ABC的三边的长度之间存在　　　关系；(2)P、Q、R变为等边三角形时，三角形ABC的三边的长度之间存在　　关系；(3)P、Q、R正六边形时，三角形ABC的三边的长度之间存在　　关系；(4)P、Q、R以边长为直径的半圆时，三角形ABC的三边的长度之间存在　　关系。同学们你能大胆地猜想P、Q、R为　　形，以上结论仍然成立。
 二、在实践中巩固反思能力
 通过反思，可以促进知识的同化和迁移。如图2，
四边形ABCD中，A、B、C、D的坐标分别为(－8，
3)、(－4，5)、(0，y)、(x，0)，当四边形ABCD的
周长最小时，求y∶x的值。开始，学生想用代数的
方法求解，结果碰到麻烦。这时，学生感到没有思路，
开始讨论，我看时机成熟于是引导学生思考：(1)线段
AB的长度会不会变?(不会)要使四边形的周长最短，
只要线段AD、DC、BC的和最小。求几条线段和最
小，我们有没有做过类似的问题?(有)请举一例。如：
已知直线L的同侧有A、B两点，在直线L上能否找
到一点P，使PA＋PB最短?如图3所示。(2)继续思考：点P如何求?  关键是求什么?(找出点A关于L对称的点A1，连结BA1 ，交L于一点，该点即P点。)通过上述的引导反思，学生马上找到解决上题的方法(如图4)：把点A关于x轴对称的点A和B关于y轴对称的点B，连结B１A１交x轴、y轴的点即为所求的点D、点C。略解如下：
 ∵A(－8，3)，B(－4，5)
 ∴A1(－8，－3)，B1(4，5)
 所以直线A1B1的解析式为y＝x＋
 ∴C(0，)，D(－，0)
 ∴＝－
 对解题过程的反思，往往可以看到问题的本质，发现一些意外的东西。许多创新灵感的获得都是源于反思的自觉。又如(1)“剪一剪”——让学生拿出准备好的正方体，解决下面的问题：沿着棱将正方体剪开，你能设法得到哪些平面图形？与同伴交流，让学生将各自得到的图形贴到黑板上(重复的不再入选)；(2)“归归类”——引导学生将十一种不同类型的展开图进行分类；(3)“再思考”——①为什么同样的正方体能展成这么多种平面展开图？你是怎么做的？②刚才的分类完整吗？你是怎么考虑的？在体现探索过程的数学活动中，教师要引导学生经历“做好数学的过程”，并在这个过程中与学生平等地交流和给予恰到好处的点拨。本节课是学生发展自身空间观念的一个重要环节，不能让活动局限于操作活动，应在操作之后向学生提出明确的反思任务，使他们把自己的活动作为思考的对象，更好地理解相关数学知识的意义，以切实发展学生的空间想象力。探究的结果，如果仅限于“交流结果的多样”，而不是“思考为什么多样”，那么学生的操作就是盲目随意的行为，学生的思维就无法被引到更深处，探索法的有效性大打折扣。
 每次考试评卷结束后，我们常发现一些考生将一些完全可以做对的考题解错，造成无谓失分，事后深感后悔，但下次考试又犯类似的错误。造成这些学生解题错误的原因，不在于他们知识体系不健全，往往是由于审题时粗心大意，对已知条件的内涵没有充分利用，对隐蔽条件未深入探索。因此，每次都因粗心失分而带来遗憾。教学实践表明，在教学过程中，经常地注意培养学生解题后反思的习惯，可以有效地克服学生解题粗心的现象，提高学习效率。
 三、在实践中发展思维能力
 思维能力是智力的核心，是构成智力的主要因素，在实践中要始终贯彻数形结合法、归纳法、演绎法等，让学生动手画图、动脑思考，学中用、用中学、学中思、用中练，反反复复，一题多问，一题多解，多题一解。
 如若等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角是多少度？将该题的条件和结论作适当的变换，进行变式设问，得以下题组：
 (1)若等腰三角形的一个顶角为50°，则底角为多少度？
 (2)若等腰三角形的一个底角为50°，则其它角为多少度？
 (3)若等腰三角形的一个内角为50°，则其余的角为多少度？
 (4)若等腰三角形的一个内角为x°，则其余角为多少度？
 使学生知道“等腰三角形的顶角可能是钝角(或锐角)，但底角一定是锐角”的这一规律。
 又如，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0, 0)与(12, 0)，最高点的纵坐标是3，求其解析式。
 解法(一)：直接代入法，得
 
 
 
 
 解法(二)：设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，则
 
 
 解法(三)：由对称性知，顶点为(6, 3)，则有
 
 
 
 解法(四)：由两根式，得知顶点为(6, 3)；由题意知，0，12是一元二次方程的两根，可用y＝a(x－0)(x－12)，再把(6, 3)代入求得a的值。
 解法(五)：可用y＝a(x－6)2＋3，代入(0, 0)求a。
 解法(六)：由韦达定理可知：
 
 
 
 
 综上，所求得函数解析式为：y＝－x2＋x。使学生掌握了二次函数求解析式的方法，巩固了有关一元二次方程的知识。
 再如，解关于x的方程
 (1)x＋＝x＋
 (2)＋＝
 (3)x2－x＋1＝0(变形，x＋＝4＋)
 上面一组代数题，题目不同，而解法基本相同，都能转化为形如第一题的形式(倒数方程)来解答，在教学中，让学生抓住这一规律，使貌似繁杂的习题迎刃而解。
 四、在实践中提高创新能力
 数学创新可以用引趣、质疑、联想步骤进行。如图已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DE)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。(1)在图5中，DE交AB于M，DF交BC于N。①证明DM＝DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形AMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积。(2)继续旋转至如图6的位置，延长AB交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。(3)继续旋转至如图7的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB

论情景创设的有效性
慈溪市教育局    范叶青

 新课程理念要求数学教学应重视情景创设，让学生经历数学知识的形成与应用过程，从而更好地理解数学知识的意义。这一理念在当前的课堂教学中基本落实，一定程度上提高了课堂教学的效率。但是，情景设置的有效性在我们的数学课堂教学中不尽人意，不乏为情景而设情景的状况，在当前教学研究的重心转轨到着力提高常态课的质量的背景下，理性认识新课程的教学理念，对情景设置的有效性的研究尤为必要，以下是笔者在教学和调研的基础上的一些思考。
 一、明确情景创设目的是情景有效的前提
 课堂教学中的情景创设有四个方面的目的：（1）让学生在经历知识的形成与发展的过程中，更好地理解数学知识的现实意义；（2）由情景的现实意义及挑战性，激发学生的学习兴趣，激励学习动机；（3）通过由情景引发的问题的思考和有效的互动，营造民主的教学氛围；（4）温故而知新，找准知识的“最近生长点”。
 我们在设置情景时，应结合具体的教学内容，努力达到这四个方面的目的，衡量一个情景是否有效的标准之一就是看设置的情景是否能达成上述目的。
 如：课题：中位数和众数
①情境：阿毛有没有欺骗妈妈吗？
 一次数学考试，阿毛得到78分。她听老师说全班的平均分为77分，所以阿毛告诉妈妈说，自己这次成绩在班上处于“中等偏上水平”。
 你认为阿毛有没有欺骗妈妈吗？
 学生议论后（有的学生说：“没有”。有的说：“有”），教师给出这次考试的实际成绩：
全班共29人,  其他同学的成绩为1个100分，4个90分,  21个80分,以及一个10分和一个 5分。
（点评：通过情境、问题以及有效的互动，营造民主的教学氛围，并从知识的“最近点（平均数）”形成和发展新的知识点，揭示了本节课学习的主题）
提出问题：（1）在这个问题中平均数还能反映学生得分的一般水平吗？
         （2）你认为用哪个数据能反映学生成绩的一般水平？
 又如，课题：代数式。②情境：教师展示幻灯片：一幅鲁迅的肖像及诗句（横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛）
教师：今天老师领着大家去游鲁迅故居。
提出问题：（1）大家知道鲁迅纪念馆距学校有多少远吗?若校车的速度为80千米/小时，那么，经t小时后到达纪念馆,求鲁迅纪念馆距学校的距离为多少千米?
 ……
 （点评：一改数学课抽象、枯燥乏味的面貌，突出数学是一种文化，从游鲁迅亡故居这一事件中，产生和理解代数式的概念）
 这样的设计从学生身边熟悉的情景中，经历了中位数和众数这些概念的形成与发展的过程，从而更好地体会和理解数学知识的意义，激发学生的学习兴趣，通过有效的互动，营造了民主的教学氛围，而且这样的设计从学生已有的知识出发，符合“最近发展区”的原理。
 二、有效的情景需要高质量的问题
 一个好的情景必须与本节课的教学内容密切相关。但是，有了好的情景不一定能达到创设情景的目的，有许多老师设计出了比较好的情景，但课上下来总觉得没有好的效果，究其原因，主要是情景后的问题设计出了问题。如以下一节课的情景创设，不仅有一个好的情景，而且老师始终围绕创设情景想要达到的目的，提出有价值的问题。
③（中位数和众数）情境：招聘启事
     因我公司扩大规模，现需招员工若干名，我公司的收入很高。有意者请于2007年3月6日前到我公司人事部面试。联系电话：××××××。
                                      公司人事部     2007年2月28日
经理说：我公司员工的收入很高，月平均工资为2000元.员工甲：我的工资是1200元，在公司中算中等收入.员工乙：我们好几个人工资都是1100元.
公司员工的月工资报表一：
提出问题：（1）甲说月平均工资2000元对不对呢?
  （2）你觉得用平均数代表公司的员工工资合适吗?
 （3）你认为应该用哪个数据反映员工的平均收入比较合适？
 通过对情景后极具诱导性的问题的思考，引起学生的认知冲突，认识学习新知识的必要性，激发学生学习兴趣．
 相反，有些老师由于没有高质量的问题支撑，不可能使学生通过情景的体验，对情景中所涉及的数学问题进行理性的思考，从而不可能产生认知上的冲突，激发起学生求知的欲望，情景的趣味性也成了山间云雾，一会就散，情景成了为创设情景而设，成了摆设。
 三、有效的情景需要体验和互动
 情景不仅需要贴近学生的生活实际，与教材内容有着紧密的联系，而且必须使学生对情景有一定的体验，进而产生数学化的问题。因为虽然有些情景生活中经常遇到，但对情景中隐含的数学问题学生不易发现。如在等腰三角形的“三线合一”的性质的教学中，把建筑工人用等腰三角形尺及重锤线检验横梁是否水平作为情景，就需要学生首先对检验的方法作一体验，才能产生如何用几何知识解释这一现象的学习动机。同时情景和问题需要生生和师生间的互动，只有通过互动才能真正让学生经历知识的形成过程。如：
④（中位数和众数）情境：展开你想象的翅膀
 有5个人在峙山公园里游玩,他们的平均年龄是20岁,你认为他们的年龄大致是……
（七嘴八舌的议论和争吵，有些学生开始举例）
学生1：这是高三学生，如18、19、20、21、22；
学生2：这是一位老爷爷带着四个孩子在游玩,他们的年龄分别是:  7、8、8、9、68岁
提出问题：从学生2的这一组人，（1）平均年龄20岁能代表这群人的实际年龄特征吗?
    （2）你认为应该用哪个数据反映这群人的实际年龄特征较好？
 情境的趣味性，以及学生主体性突现的互动，平等民主的教学氛围自然形成，同时激发了学生学习新知的强烈动机。
 综上所述，要达到情景创设的目的，设计和教学时应遵循以下原则：（1）兴趣性原则。情景应是学生感兴趣的；（2）简洁性原则。为保证重点教学内容的教学时间，应努力在最短的时间内通过情景导出本节课的主题；（3）最近性原则。必须从学生已有的知识中寻找最近的生长点（或发展区）；（4）互动性原则。情景和情景中的问题必须保证学生积极参与活动和思考，获得体验。

　　　　　　图5　　　　　　　　图6　　　　　　　　　　　　　图7

于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。此题的呈现形式是动态的、变化的，题目的设计层次分明，梯度合理。在教学中我首先帮助学生寻找题中特殊点，然后让学生动手去操作，由上述方法给学生有大胆猜想、大胆推测的空间，激发学生去自主思考、互相协作、共同探究、自我提高，最后由此创新出此题的教材中知识雏形(正方形的性质)。教师应以训练学生创新能力为目的。保留学生自己的空间，尊重学生的爱好、个性和人格，以平等、宽容、友善的态度对待学生，使学生在教育教学过程中能够与教师一起参与教和学中，做学习的主人，形成一种宽松和谐的教育环境。只有在这种氛围中，学生才能充分发挥自己的聪明才智和创造想象的能力。
 合情推理是创新思维的火花，操作探究是创新的基本技能，我们在教学中要充分挖掘新教材教学资源，用火花去点燃学生的学习激情，用技能去武装学生的手脑。使新课程的教学过程成为师生交流、共同发展提高的互动过程；使数学的课堂教学真正达到：导入环节“未成曲调先有情”；讲述环节“一枝一叶总关情”，细节设计“嫁与春风不用媒”；情景创设“山雨欲来风满楼”；教学机智  “随风潜入夜，润物细无声”的艺术境界；使课堂教学真正成为师生富有个性化的创造过程。
 教学实践证明：在数学教学中让学生充分参加实践活动，符合学生好奇、爱动的心理，使他们变被动学习为主动学习，真正成为学习的主体，使学习成了一种有乐趣的活动；学生参加实践活动，不仅可以听、说，而且可以看、做、想、眼、耳、口、手、脑都被调动起来，学生可以从不同的角度接受来自视觉、听觉、触觉和运动感觉的信息，更好的把握知识之间的联系，更快的上升理性认识；学生参加实践活动既可以使他们体验到成功的喜悦，又可以逐步渗透和培养他们“实践第一”的辩证唯物主义观点。为此，我们要千方百计把实践活动引进课堂，让学生在实践的基础上有效地获取知识，从而培养学生的数学能力。

参考文献：
[1]常汝吉，《数学课程标准》，P2，XX师范大学出版社，2001.7。
[2]中国人民大学书报资料中心，《中学数学教与学》，P9，中国人民大学出版社，2005.4。
[3]中国人民大学书报资料中心，《中学数学教与学》，P20，中国人民大学出版社，2005.7。