“问题解决的基本步骤” 的教学构建与实践

新浙教版七年级上册第五章编入了美籍匈牙利数学家乔治 • 波利亚的的问题解决模式（四个基本步骤：理解问题、制订计划、执行计划、回顾）内容，即“5.4问题解决的基本步骤”。它是在学生已初步学会了一元一次方程及其实际应用的基础上，进一步探究现实世界几乎概括所有问题解决的过程，包括非数学问题的解决办法——四个基本步骤。“问题解决的基本步骤”是解决问题的一种基本方法，它是由若干个技巧组成的一个整体。而且问题解决的过程也是一个创造性的活动。因此，我们在数学应用中，教学“问题解决的基本步骤”的内容时，必须使学生能逐步体验按这样四个基本步骤进行审题、分析数量关系、选择数学模型、设元、列方程、解方程，并进行检验、反思；同时，整个过程也应经过教师启发和帮助，通过学生主动地分析、探索并提出解决问题方法、检验等方法的思维活动，运用已有的知识经验，克服认知矛盾冲突，积极主动地寻求和达到问题结果的过程，从而达到掌握知识、发展能力的教学目的。另外，能使学生学会从数学的角度发现问题、理解问题， 并能综合运用所学的问题解决的四个基本步骤去思考问题、解决问题，形成解决实际问题的一些基本策略。下面笔者就构建与实践“问题解决的基本步骤”的教学谈一些体会：
 一、贴近生活，营造“好”的问题情境
 我校处于象山半岛，中华名果“象山红”桔子进入了收获期，我们首先用多媒体让学生观看了来自www.xshgj.com  的一组介绍“象山红”桔子图片，然后提出：假如你是经销商，你认为经销“象山红”桔子应如何决策？鼓励学生自主探索与合作交流，由学生能有条理地、清晰地阐述自己的观点。并引导学生考虑解决实际问题的决策时，应按照理解问题、制订计划、执行计划、回顾这四个基本步骤进行。
    二、促进知识同化和迁移，培养学生的基本技能
 在揭示课题后，要求学生阅读课本中问题解决的四个基本步骤知识。得出：
理解问题   制订计划   执行计划   回  顾
 为了激发学生的求知欲，更贴近于学生的生活，自然衔接前面的问题和知识，我们为学生的认知铺垫了基础。我们补充了：
 例1：中华名果“象山红”桔子进入了收获期，在象山收购价每箱50元，运往上海销售另加费用占收购价的20%，在上海销售价每箱80元，问需要经销多少箱才能获得12000元的利润。
 讲解例1时，我们设计下面思考题：⑴本题中四个基本步骤：理解问题、制订计划、执行计划、回顾各是什么？⑵如何执行计划？怎样回顾？
 要求学生按“缺什么，求什么”思想讨论问题，通过学生的自主探索与合作交流后，把学生回答的内容归纳为：
 理解问题：明确“象山红”桔子产地、销售地，收购价、销售价、其他销售费用、利润等问题后，列出收购总支出：50x元；其他销售费用：10x元；销售总收入：80x元；利润：12000元。
 制订计划：通过对各种已知信息的分析，确定实施方案。对制订计划着重启发学生如何选择数学模型，把问题归纳为一元一次方程有没有符合实际的解来解决。由此，学生就能探究出本例的相等量的关系：利润=销售总收入－收购总支出－其他售费费用。
 执行计划：设需要经销x箱，由题意，得
 80x―50x―10x=12000
 解这个方程，得  x=600
 答：经销600箱桔子，才能获得12000元的利润。
 回顾：检验，把方程解代入方程，左边=右边，说明求解无误，结果符合实际。
 可见，教师必须使学生学会审题，分析题中形与形，形与数，数量与数量之间的关系，将实际问题抽象成为数学模型，将所得的数学模型进行转换和运算。同时，教师也应时常提醒学生在得到问题的解或答案后，要进行必要的检验、回顾和自我反思。
 当学生初步掌握了问题解决的四个基本步骤后，会发现它与前面学过的运用方程解决实际问题的一般过程有一定联系。
 从而我们在教学中就揭示了数学应用题中问题解决的四个基本步骤与运用方程解决实际问题的一般过程的两者内在联系：
 问题解决的四个基本步骤             运用方程解决实际问题的一般过程
 
理解问题                              审题
    分析
制订计划    
     设元
执行计划    列方程
     解方程
回    顾    检验
 例2：
七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社。
已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都
参加的有20人，问参加书画社的有多少人？
 在讲解例2时,我们先引入简单的一个问题：七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社。参加书画社的有30人，参加了文学社的有35人。问：⑴没有参加书画社的有几人，⑵两个社都参加的有几人？
 可见，引入的简单问题只要运用小学知识就能解决的问题。此时我们讲解例2时，学生的理解问题已从引例熟悉信息，只要在制订计划中引导学生借助于几何图形（韦恩图），直观描述各量之间关系，此题目就不难解决。同时，还应帮助学生逐步学会分析法的逆向思考方法，这对整个数学学习都有重要的意义。
 三、动手探究，达到掌握知识、发展能力的教学目的
  当学生已初步掌握了数学应用题的四个基本解题步骤后，我们在讲解例3时（课本中的例1），让学生模仿自已动手探究，促使学生积极思考，发现探究问题的本质，调动学生的学习积极性。
 例3：电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A是每月收月租费50元，此外通话时间按0.4元/分钟加收通话费；计费方法B是不收月租费，通话时间按0.6元/分钟收通话费。
 （1）用计费方法B的用户一个月累计通话360分钟所需的话费，若改进用计费方法A，则可通话多少分钟？
 （2）上述两种计费方法，会出现通话时间相同，收费也相同的情况吗？
 在理解问题中， 先请同学仔细阅读题目，然后思考下面问题：⑴你能得到什么信息？本题中涉及哪些关键的量？ ⑵能否运用表格的形式表示出这两种计费方法？
 在制订计划中，让学生思考下面问题：第⑴题中，求改用计费方法A所能通话时间涉及哪些量？这些量之间存在哪些基本数量关系？由此你能找到怎样的相等关系？第⑵题和第⑴题是否有相同的数量相等关系？依据是什么？
 在执行计划、回顾中，主要启发学生能否把问题归结为运用方程解决实际问题的一般过程中的设元、列方程、解方程、检验这四个步骤。
 接着让学生独立完成课本作业第1题：“如果把例3第⑴题中的‘通话360分钟’改成通话‘200分钟’，其余条件不变，结果如何？如果从支付话费的多少角度，你认为应根据什么来选择两种计费方法？”这种变式题就可促进学生积极思考，探究发现问题的本质，从而调动学习的积极性。
 由于学生往往忽视对解的实际意义的检验，我们再让学生独立完成课本例1“回顾”中的补充题“通话360分钟改成75分钟，其余条件不变，那么若改用计费方法A，可以通话多少分钟？”然后提问：你在问题解决的过程中遇到什么问题？这个问题是怎样产生的？如何解决？你从中获得什么的教益？
 这样,在“回顾”一步中，我们将常规教学中比较容易忽视的一环，进行了突出，强调培养了学生的反思意识和反思能力。
 课后，我们在要求学生完成相应作业外，还布置了应用“问题解决的基本步骤”方法解决非数学问题的题目让学生课外独立完成。
 总之， 教师必须在新课标精神及要求的指导下，理解教材的编写意图，找出知识点之间的联系，吸取教材的有效资源，从构造数学模型、设计求解模型方法等方面着手，引导学生自己去发现、去设计、去创新、去完成。由学生自主探索、合作交流，重组学生的反馈信息进行教学，促进知识同化和迁移，实现课堂的创造性教学。从而培养学生的一种数学基本技能和创造能力。使学生体会事物是互相联系和有规律地变化着的，向学生进行生动具体的知识来源于实践反过来又作用于实践的辩证唯物主义教育。培养并发展学生实践能力与创新精神。

 参考文献：
 1、戴再平： "问题解决"，载张奠宙编《数学教育学导论》，江苏育出版社，1998年   2、傅海伦：课题情境与数学问题解决，载《数学通报》，1994年10月   3、范良火：《七年级上册·教学参考书》，浙江教育出版社，2005年5月