浅谈集合论的发展及所思

 浅谈集合论的发展及所思
[摘 要] 集合论是现代数学中重要的基础理论。它拓宽了人们对"无穷"和"无穷集合"的深层认识，它影响了现代数学，使数学的发展大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
[关键词]集合论    现代数学       影响
 关于集合论
    康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家、集合论的创立者，是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
 集合的创立，是同康托尔的成就分不开的，因此康托尔被认为是20世纪有极大影响的数学家。康托尔1845年出生于彼德堡，父母都是犹太人。其父是丹麦商人，年轻时就移居彼德堡。康托尔于1863年在柏林大学学工科，受维尔斯特拉斯影响，由学工转学纯粹数学。6年后任哈雷大学讲师。　　康托尔在哈雷大学任教期间，海涅作为他的同事和师长，建议研究黎曼提出的"惟一性理论"。康托尔接受了这个建议， 1870年、1871年、1872年连续发表了三篇论文，提出了"戴德金-康托"公理，定义了导集，使无穷点集成为数学研究的对象。　　1874年，康托又发表了《切代数实数的一个性质》一文。该文提出了"可数集"概念，并以一一对应为准则对无穷集进行分类，该文是集合论诞生的标志。康托尔1874年的论文以取得如此重要的成就，主要是他坚持了一一对应的方法。由于这一认识上的飞跃，才接受了无穷大的真子集对等这一事实。虽然这个事实早在5世纪的普鲁克鲁斯已经知道，以后在里略、莱布尼兹、波尔查诺等人的研究中都屡次提到，但在康托尔之前，都因为这个结果同"整体大于部分"这一传统公理把它否定了。康托尔敢于承认有限和无限的本质区别，排除一切传统的、直观的世俗偏见，利用一一对应这一有效工具。对无穷集合的特性进行了深入的分析和开拓。　　1879-1884年，在以《关于无穷的线性点集合》为总标题下的一系列论文中，康托尔系统地建立了无穷集合的超基数与超限数的理论。　　为了真正把超限数当作"数"来对待，康托尔不像波尔查诺那样，随便给无穷集合指定一个超限数，而是利用等价成。每一个矿脉对应一个基数，并规定超限数大小的比较法则。在建立实数理论的同时，集合论—无穷集合超限数理论也建立起来。两者所不同的是：前者是殊途同归；后者是单枪匹马，独辟蹊径。这个独辟蹊径者，就是康托尔。　　康托尔关于无空集合的思想，可以溯源很远。无穷和无穷的集合，从古希腊时代起，就引起许多数学家和哲学家的注意。例如，亚里士多德考虑过整数集合的无穷性，但他只承认潜无穷而不承认无穷。他的这种思想影响了不少人。19世纪，极限理论给出无穷概念。数学家们普遍认为无穷的概念本质上是作为无穷过程即变量变化的形势来理解的。无穷小定义为几乎为零的变量，否定了作为数量的实无穷小；无穷大理解为其绝对值可以无限增大的变量，而作为数量无穷大也被忽略了。被誉为"数学之王"的高斯就是一个潜无穷论者。当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面。数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。　　数学分析严格化的大师波尔查诺是一位探索实无穷的先驱，他是正式提出"集合"概念并是试图着手研究无穷的一个。1851年，他在《无穷悖论》中提出两个无穷集合的等价概念，明确表达了无穷集合具有"部分可以等于全体"的特征，并力图用这些说明。实无穷论是在数学中，还是在哲学中，都是合法的，但在理论体系当中，还存在着许多错误，如错误地用比较无穷大的阶的办法来比较无穷大小。　　集合论是现代数学中重要的基础理论。但在其产生初期，人们不仅没有认识到它的重要意义，甚至使它受到激烈的反对。反对派的柏林学派的代表人隆尼克。隆尼克认为：只有自然数才可以作为数学的可靠基础，任何涉及"无穷"的数学都毫无意义；德国数学家魏尔认为，康托尔把无穷分成等级是雾上之雾。　　由于两千年来无穷数学带来的困难，也由于反对派的权威地位，康托尔的成就不仅没有得到应得的评价，反而受到排斥。在学校，康托只能拿同等资历教授工资的一半，在社会上，几家杂志拒绝刊登他的论文，粗暴地指责、无理的歧视给康托带来巨大的压力。1884年康托患了精神分裂症，后来他用宗教信仰作为精神寄托。然而真理是不可战胜的，他最终获得了世界的承认，至今享有极高的声誉。希尔伯特就曾热烈赞美康托的业绩。他大声疾呼："没人能把我们从康托所创造的天国中赶走"。罗素把康托的工作称为："可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。"
 二、集合论带来的思考　　集合论的理论意义十分巨大，它拓宽了人们对"无穷"和"无穷集合"的深层认识，它影响了现代数学，也深深地影响了现代哲学和逻辑。就数学而言，集合论改变了数学的各个分支的基本叙述方式，成了它们共同的基础。
 集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。
 今天，集合论已成为整个数学大厦的基础，康托尔也因此成为世界上的最伟大的数学家之一