开展数学创新教育的最佳途径

开展数学创新教育的最佳途径------发展合情推理能力
 目前，知识经济在我国已初露端倪。知识经济的核心是创新。原国家主席江泽民曾经指出“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”。因此数学面临的新课题是发展学生的创新能力。实施教学的主战场是课堂教学。传统的课堂教学，基本上是沿用了捷克教育家夸美纽斯和苏联教育家凯洛夫所倡导的“组织教学——复习旧课——讲授新课——巩固新课——布置作业”等五个环节组成的课堂教学结构形式，它的最明显的局限性在于整个课堂环节自始至终贯穿“教师中心”、“知识中心”在教学实践中形成“满堂灌”、“注入式”的格局，在学生储存知识上下功夫，把人的头脑看成是一个专门储存知识的仓库，阻碍了学生的创新意识。
 教学应答知识经济时代到来的策略之一，应该是改革课堂教学结构，实施创新教育。创新教育是诣在培养受教育者创新能力（含创新意识，创新精神等）的教育思想、观念、方法和手段的总和，它的最终目标是发展创造型人才。运用数学方法论的观点和高级神经活动生理学研究成果，分析数学思想，我们可以了解到，数学思维有两重性：一类是进行逻辑推理（左脑思维），另一类是进行合情推理的形象思维（右脑思维）合情推理也叫探索推理、似然推理，就是运用观察、实验、类比、推广、限定、联想、猜想、不完全归纳等一套自然科学中常用的探索式方法进行推理，它们不仅在数学的创新过程中起着十分重要的作用，而且广泛应用于社会生活中，也是人们的一般文化修养的组成部分，传统的数学课堂教学活动中，基本忽略了这一重要部分，创新教育就是要通过创新意识、创新精神的培养，激发学生的想象力和灵感，促进右脑开发，进而促进大脑两半球协调发展，人脑的潜能将在创新教育中得到充分发掘。
 因此，无论从素质教育的要求来看，还是从数学思维本身特点来看，都要求我们将学生从接受知识转轨到发现新知识，发展创造性思维的能力上来。
 早在1988年，我国著名数学家徐利治就指出：“要用玻利亚的思想改革数学教材和教学方法，要培养玻利亚型的数学工作者”，从而在我国正式拉开了把数学方法论和玻利亚的数学教育思想应用于课堂教学实践的序幕，从此，我们逐渐开始探索，在发展学生逻辑推理能力的同时进行合情推理能力的发展。
 玻利亚曾说：“用那些缺乏推动力，得不到什么收获的乏味的证明充塞着教本的每一页，会给最好的学生带来最坏的印象”。因此，我们要发展学生的合情推理能力，首先必须用数学方法论的观点对教材进行加工、处理，充分挖掘教材，让“死”的内容“活”起来，寻找有利于发展合情推理能力的知识点。在课堂教学中要善于捕捉有利时机，力求让学生的思维与数学家发现问题的思维过程或教材作者的思维过程同步，让学生参与到知识的发生、发现过程中去，体验到发明创造的情景、方法及乐趣。
 众所周知，创造性思维需要灵感，但灵感并非是漫无边际胡思乱想就会突然冒出来的，正所谓：“机遇只会恩赐给有准备的人”，灵感的得来需要有合情推理一定量的积累，才能最终达到质的飞跃，进入“顿悟”的境界。而严密的逻辑推理一般是对创新思维进行验证和完善。因此，作为数学课堂教学，要发展学生的创新能力，必须而且也只能是从发展学生的合情推理能力入手。现通过以下三种合情推理来例说创新能力的发展。
类比
类比，是根据两个对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出他们在其他方面也可能相似或相同的一种推理方法。玻利亚说“类比是一个伟大的引路人”，数学家刻卜勒也曾说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能提示自然界的秘密，在几何学中，它应该是最不容忽视的。”
 例如，在学习三角形相似的判定定理时，我们可以通过全等三角形的判定定理来类比推出。学生知道全等是相似的特殊情况，当两个三角形的相似比为1时则这两个三角形全等。有类比习惯的同学，自然会通过三角形全等的判定定理——SAS、ASA、SSS构造出三角形相似的判定定理。会提出问题自然也是创新能力的重要方面。
 又如，学生在开始学球的体积公式时，一点感性认识都没有。此时，可先对圆的面积公式进行研究，圆的面积公式S=πR 2可略作变形：S=πR 2=1/2*2 πR*R=1/2CR。这样圆的面积就可以看作是以圆周为底边，圆半径为高的三角形的面积，由此推测：球的体积应该是以球面为底面，球半径为高的圆锥的体积，即V=1/3*4πR2R=4/3πR3。此时，学生自然要去探索，这个猜想是否正确呢？从而进一步激发了学生的求知欲。另外，正由于有了这一思维过程，对这一公式的印象就特别深刻，从而也就牢记不忘了！
 类比的信息源十分广泛，只要深入挖掘，便能获得许多新的结论或是寻找到许多解决问题的新途径。
特殊化
玻利亚在“怎样解题表”中提到：如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题，你能不能想出一个更容易解决的有关问题？一个更特殊的问题？他在《数学与猜想》一书中多次提到“起主导作用的特殊情形”。可见他对特殊化这一数学方法有多“钟情”了。
 例如，有这样一道选择题，已知：a,b,c是△ABC的三边长那么方程cx2+(a+b)x+c/4=0
的根的情况：
               A   没有实数根               B  有两个不相等的正实数根
                C  有两个不相等的负实数根   D  有两个异号实根
学生如果直接去解非常困难，大多数同学只能确定出有两个不相等的实数根，这时可以启发学生考虑用特殊化的方法去解。我们不妨设满足△ABC的三边长a,b,c的特殊值a=2,b=3,c=4代入方程，得：4x2+5x+1=0,解得：x1= -1/4,x2= -1.这时容易得出应选C。
极限化
 我国古代数学家刘徽，最早把极限观念运用到数学中去，并以之成功的解决了一系列重要的数学课题，他在 《九章算术注》中多次应用了极限的观念，例如在弧田术、开方术、阳马术等中都用了极限观念，这与《墨经》和《庄子》中的极限思想是一脉相承的，祖冲之就是运用圆的内接多边形的面积逼近圆的面积，从而推算出圆周率的近似值的。
 学生有时运用极限化的思想解决问题的方法真叫人拍案叫绝：
 问题：一艘轮船在静水中从A港口到B港口来回一次，船速为V0，所用时间为t0，当水流速度为V时，从A港口顺流而下，再从B港口逆流而上，所用时间为t，问 t0与t 哪一个小？
 有位同学稍加思索，就得出结论：t0小。他考虑到当水流速度越来越大，趋近于船速时，虽顺流而下所用时间极短，但逆流而上所用时间将越来越大，趋近于无穷，而t0是一个定值，从而t0小。
 他思维的敏捷程度决不亚于高斯当时解决“1+2+…+100”
 总之，合情推理还有很多，仅以此三种起抛砖引玉之作用。在具体实施创新教育的过程中需注意以下几个问题：
首先，在课堂教学中，要十分珍视学生的创新意识，努力激发学生的创新欲望，积极保护学生的创新积极性。学生的有些想法在当时当地来看，可能是异想天开的，但仔细研究后往往会发现不无道理。甚至有部分学生的思维质量还会优于教师，所提想法老师也会一时没有反映过来。此时，更要抛开陈旧的师道尊严，鼓励学生大胆探索，积极创新。
 其次，创新教育要对传统教学中预习的做法提出新的要求。有的老师认为，预习虽是学习的一个好办法，但学生预习过的内容，上起来就毫无“悬念”。这要从两方面来看：一方面如果教者只是照本宣科，那么学生预习后来听你的课，必然是索然无味，这不是预习的错，而是你的教学还不是创新教学的必然结果；另一方面，如果学生只是象看小说似的先看看将要上的新内容，这样的预习也没有什么大作用，说严重点，甚至是在浪费时间。因此，我们要给学生预习的方法：可以先回忆前面学的内容，或是根据课题自己探索新的知识的研究方向，当思维受阻时，适当“偷看”一下课本再作探索；当预习定理的推导、证明或例题时，先不看书上的具体过程，而是“另搞一套”。最终在与课本进行比较。可能你的方法与课本上的不同，甚至优于课本，这正是我们追求的。另外，预习完后，再掩卷深思，你有什么新的思路想法吗？坚持长期这样做，一定会大有收获的。这看起来有点费时，但与沉入“题海”相比，必然会事半功倍。通过这样高质量预习后的课堂教学才会有学生活跃的思维，才会有许多合情推理的新成果。
 再次，在教学过程中，教师要遵循数学本身的发展发明与创新的规律，遵循学生的身心发展与认知规律，切记过分矫揉造作，不然将适得其反。
 最后，创新教育还涉及到教育评价的标准和方法。只有对课堂教学和学习效果作出更符合创新要求的科学、合理的评价，创新教育才会有蓬勃的生命力。我们相信，创新教育必将替代传统教育。