集合论的发展

集合论的发展
    无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。初中毕业升入高一级学校的同学们会一致发现自己所学的第一个数学概念都是：集合。这门研究集合的数学理论在现代数学中被恰当地称为集合论。它是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。
 我将在本文中简要介绍中无穷思想发展的历程
　  早在远古时代，无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情，而且远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。
 在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。由此，我们可以看到在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点，
    康托在柏林大学的导师是外尔斯托拉斯，库曼和克罗内克。库曼教授是数论专家，他以引进理想数并大大推动费马大定理的研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。例如，微积分中著名的观念就是他首先引进的。正是由于这些人的影响，康托对数论较早产生兴趣，并集中精力对高斯所留下的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于++=0的素数问题的。这是高斯在《算术研究》中提出而未解决的问题。这片论文写得相当出色，它足以证明作者具有深刻的洞察力和对优秀思想的继承能力。然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于早期对数论的研究。相反，他很快接受了数学家海涅的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题：任意函数的三角级数的表达式是否唯一？对康托来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。函数可用三角级数表示，最早是1822年傅立叶提出来的。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究，并且都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩。这就为康托最终建立集合论创造了条件。1870年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。至于间断点的函数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。于，他跨出了集合论的第一步。
 康托一下子就表现出比海涅更强的研究能力。他决定尽可能多地取消限制，当然这会使问题本身增加难度。为了给出最有普遍性的解，康托引进了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后发表了五篇有关这一题目的文章。1872年当康托将海涅提出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况时，他已经将唯一性结果推广到允许例外值是无穷集的情况。康托1872年的论文是从间断点问题过度到点集论的极为重要的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。
　  亚里士多德只承认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后，实无限在数学中统治了三个世纪。17世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立的微积分学也是以实无限小为基础的，在其理论中，无穷小量被看作一个实体,一个对象，正因此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用，因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊，导致产生了贝克莱悖论及一系列荒谬结果。在高斯时代，实无限已开始被抛弃了，尤其到了十八世纪末至十九世纪约百年时间中，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现中现在标准分析中关于极限的定义中，并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论，使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而，到本世纪六十年代，A鲁滨逊创立的非标准分析，使无穷小量再现光辉，荣归故里，重新堂而皇之的登进数学的殿堂，而可与柯西的极限分庭抗衡了。尤其，在康托尔的无穷集合论中，体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的“存在着的整体”的实无限思想，这就足以使得实无限思想可与潜无限思想形成“双峰对峙”“炮马争雄”的局面了。那么，无穷到底是实无限，抑或是潜无限呢？    两种无穷思想在数学上经历过“江山代有才人出，各领风骚数百年”的此消彼长与往复更迭后，已在现代数学中日趋合流，实际上现在数学中早已是既离不开实无限思想也离不开潜无限思想了。标准分析与非标准分析的使用表明：用两种不同的无穷思想为据，采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。这殊路同归的结局，意味着两种无穷思想可以避开“两虎相争，必有一伤”而走向“平分秋色，辉映成趣”了。    当我们上升到哲学高度时，可能会获得对两者关系的更清楚认识。   辩证法告诉我们，要从整体，从两方面看问题。如同我们所熟悉的“金银盾”的故事那样，看到金一面的说是金盾，见到银一面的说是银盾，而实际上对盾的认识应是“一面是金，一面是银”，数学家们对无穷的认识亦相仿。看到无穷实在性一方面的说无穷是实无穷，见到无穷潜在性一面说无穷是潜无限，但对无穷的认识只能是“无穷既是实无限，又是潜无限”，无穷本身就是一个矛盾体，它既是一个需无限趋近的过程，又是一个实体，一个可研究的对象。在这一矛盾体中，矛盾的一方是实无限，另一方是潜无限而无穷正是这矛盾双方的对立统一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潜无限作为矛盾体的一面，是对有穷的直接否定，而实无限作为矛盾体的另一面则是对潜无限的否定，是否定之否定。
    集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展。
 1960年，美国数理逻辑学家A鲁滨逊指出：现代数理逻辑的概念和方法为“无限小”、“无限大”作为“数”进入微积分提供了合适的框架，无穷小量堂而皇之地重返数坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，被认为是“复活了的无穷小”。这样微积分创立300年后，第一个严格的无穷小理论才发展起来。回顾微积分学发展的历史，无穷小分析法――极限方法――无穷小分析法，否定之否定，微积分学基础获得了进一步发展。
　 亚里士多德只承认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后，实无限在数学中统治了三个世纪。17世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立的微积分学也是以实无限小为基础的，在其理论中，无穷小量被看作一个实体,一个对象，正因此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用，因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊，导致产生了贝克莱悖论及一系列荒谬结果。在高斯时代，实无限已开始被抛弃了，尤其到了十八世纪末至十九世纪约百年时间中，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现中现在标准分析中关于极限的定义中，并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论，使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而，到本世纪六十年代，A鲁滨逊创立的非标准分析，使无穷小量再现光辉，荣归故里，重新堂而皇之的登进数学的殿堂，而可与柯西的极限分庭抗衡了。尤其，在康托尔的无穷集合论中，体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的“存在着的整体”的实无限思想，这就足以使得实无限思想可与潜无限思想形成“双峰对峙”“炮马争雄”的局面了。那么，无穷到底是实无限，抑或是潜无限呢？    两种无穷思想在数学上经历过“江山代有才人出，各领风骚数百年”的此消彼长与往复更迭后，已在现代数学中日趋合流，实际上现在数学中早已是既离不开实无限思想也离不开潜无限思想了。标准分析与非标准分析的使用表明：用两种不同的无穷思想为据，采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。这殊路同归的结局，意味着两种无穷思想可以避开“两虎相争，必有一伤”而走向“平分秋色，辉映成趣”了。 　 当我们上升到哲学高度时，可能会获得对两者关系的更清楚认识。　  辩证法告诉我们，要从整体，从两方面看问题。如同我们所熟悉的“金银盾”的故事那样，看到金一面的说是金盾，见到银一面的说是银盾，而实际上对盾的认识应是“一面是金，一面是银”，数学家们对无穷的认识亦相仿。看到无穷实在性一方面的说无穷是实无穷，见到无穷潜在性一面说无穷是潜无限，但对无穷的认识只能是“无穷既是实无限，又是潜无限”，无穷本身就是一个矛盾体，它既是一个需无限趋近的过程，又是一个实体，一个可研究的对象。在这一矛盾体中，矛盾的一方是实无限，另一方是潜无限而无穷正是这矛盾双方的对立统一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潜无限作为矛盾体的一面，是对有穷的直接否定，而实无限作为矛盾体的另一面则是对潜无限的否定，是否定之否定。诚如徐利亚教授提出的无穷双相性理论：实无限、潜无限只是一枚硬币的两面罢了。――这倒并非是哲学的玄奥思辩，而是辩证法为我们上的生动一课。