浅谈数学建模在能力培养中的作用

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    市场经济的发展给高等学校的人才培养模式带来了严重的挑战。21 世纪需要什么样的人才呢? 我们的教学改革应该改什么,怎么改,这是高等教育的新课题。诚然,应用能力强、综合素质高的毕业生越来越受到用人单位的欢迎。近几年来,高校开展的数学建模活动对培养学生分析问题、解决问题的能力,对学生进行创造性思维等方面起到了积极作用,也推动了数学教学的改革。为了培养数以亿计的高素质的人才,以适应现代化建设的需要,今后还需要进一步深入广泛地开展数学建模活动。
一、数学建模的发展进程
数学建模就是对具有代表性的实际问题, 通过搜集、阅读有关资料, 利用一切有用的成果, 进行分析、分类、归纳、综合, 并利用数学的语言进行抽象和概括, 进而将实际问题简化为数学问题, 建立合适的数学模型, 明确变量和参数的关系, 最后利用计算机手段求得近似解, 并对结果进行解释和验证。若通过则可投入使用, 否则返回, 重新假设, 建立新的数学模型。因此数学建模活动是一个多次循环反复验证的过程, 是应用数学的语言和方法解决实际问题的过程, 是一个创造性工作和培养创新能力的过程。数学建模竞赛就是这样的一个设计数学模型的竞赛。1989 年我国大学生首次组队参加美国的数学建模竞赛(AMCM ) , 1992 年开始由中国工业与应用数学学会(CS IAM ) 举办我国自己的全国大学生数学建模竞赛(CMCM ) , 到1994 年改由国家教委高教司和中国工业与应用数学学会共同举办, 每年一次。随着“大众数学”与“问题解决”等教育观念相继确立, 数学被应用于解决实际问题。数学建模教育实践相继开展, 现已成为落实素质教育、数学教育改革的热点之一。1996 年“全国大学生数学建模竞赛”工作会议后, 全国高校掀起了数学建模热, 并受到国家教育主管部门的高度重视, 参加院校逐年递增。到目前为止, 数学建模竞赛已经成为全国大学生的四大竞赛之一，但在连续进行五届后有人提出,今后比赛将淡化获奖比例,重在参与,推动数学教学改革。这样做,更能激起学生参与这一活动的积极性,对于推动学生素质教育,促进数学教育改革起到良好的激励作用。
    二、数学建模有利于学生综合能力的培养
1、数学建模活动能促进理论联系实际,提高学生分析、解决问题的能力
据有关研究资料表明,世界上发达国家与发展中国家的差距基本上是知识的差距。面对知识经济将成为21 世纪主导型经济的挑战,我们应该充分发挥大学是经济建设的发动机作用,努力培养学生主动获取和应用知识信息的能力、独立思维能力和创造能力。但在传统的教学中,对数学系的学生只注重数学严格的定理证明和抽象的逻辑思维;对工科学生,则只要求学会套现成的公式和会做计算;对社会学科的学生,几乎不要求学数学。学生在校基本上不接触实际问题。长此以往,造成学生毕业以后,学数学的不愿、不能甚至不敢碰实际问题,即学数学的不会用数学,学工程的不会或意识不到用数学工具去解决他们各自领域的问题,而学社会科学的更觉得与数学无关,遇到实际问题想不到用数学。比如,某工厂引进一种设备中,有一种(对我国) 新型的齿轮,这里要用到一些几何中关于曲面较深的知识。我们技术人员想仿制这种齿轮,不是查阅和学习有关的数学知识,而是采用量测实物,然后根据实际测得的数据制图再制造,结果与实物误差太大,制造出的齿轮不符合要求。在高校中开展建模活动,最起码,让数学系的学生在大学里接触一些实际问题,树立理论联系实际的思想和初步分析、解决实际问题的能力。让工程技术和经济管理等学科的学生切实体会到数学是有用的,培养他们在以后的学习与工作中,主动用数学工具解决专业实际问题的意识。
2、数学建模活动提供了一个培养学生创新意识的场所
1997 年获诺贝尔物理奖的朱棣文教授认为中国学校过多强调学生书本知识和书面应试能力,而对激励学生的创新精神则显得不足。他认为,创新精神是最重要的。在全国高校教学改革大讨论中,清华学子提出“进来时,我们五颜六色,出了校门就成了‘清一色’,我们的个性在哪里?”的问题,并指出,大学教育中传授知识仅仅是一个次要方面,而教会学生自我学习、思考、研究才是大学教育的根本。数学建模所得结果只是最优解答,并非标准答案,所以在建模过程中就有较大的灵活性供解答者发挥创造。这样,数学建模本身就给学生创造了一个自我学习、独立思考、认真探讨的实践全过程,提供了一个发挥创造才能的条件和氛围。特别是数学建模竞赛只有短短三天,是一场真刀真枪的科研实战。既需要课堂上学到的知识和能力,更需要应变能力、独立查找文献与独立工作的能力。所以通过这些实际活动,可以培养学生勤于思考、勇于探索问题的勇气与敢为人先的精神。
3、数学建模活动能培养学生的合作意识
随着科学技术经济化、大众化、综合化发展的进程,各个领域出现的许多实际问题已不是单方面人才所能解决的,需要多学科的科技人员共同合作完成,这已成为当今社会的一个特点。数学建模竞赛规定三个人一队,在参赛中,三个人可以讨论,使用各种图书资料、计算机软件,三天内完成选题中的一篇论文。如果按照这个规则开展活动,可以激发学生共同探讨问题、寻求最佳方案的集体智慧,激励学生互相学习,积极合作、集体攻关的协作精神。
4、数学建模活动有利于提高专业水平
数学模型是在某些假定下对现象做出的数学描述,所以要求必须熟悉数学公式本身,而要想使用数学去理解现象、描述现象,必须能充分理解和分析支配该现象的最基本内容,还要有正确描述它的能力。这就要求学生除具备应有的数学知识外,还须具备理解能力、表达能力、计算机运用能力、分析问题和解决问题的能力以及其他相关知识。由此可见,通过建模过程的学习,一则可加深理解所学的数学知识,并能利用知识,自己动手构造模型,以提高数学课中解题、证题的技巧性,如利用几何的直观性, 构造模型来证明代数题, 利用物理意义构造模型证明几何题等。二则通过查阅资料, 获取了大量新知识, 拓宽了专业面, 深刻体会到知识不是“教会”的, 而是“做会”的,“教”只是一种引导,而要“会”必须去“做”。三则在解模中大量的要借助计算机完成, 例如：桌子上有甲、乙两杯饮料。甲杯子中是白开水，乙杯子中是果汁，如何交换甲乙两个杯子中的饮料？
如果在现实生活中，我们可以这样进行实物交换：拿一个空杯子丙，作为中间周转饮料的杯子。
第一步，把甲杯子中的白开水倒进空杯子丙中，此时，甲杯子是空的；
第二步，把乙杯子中的果汁倒入甲杯子中，此时，乙杯子是空的；
第三步，把丙杯子中的白开水倒入乙杯子中，此时，丙杯子为空，交换完成。
对于高一的学生来讲，引进一个空杯子丙作周转不再是此题的难度。难点是如何表达让计算机模拟我们交换两个杯子中的饮料过程。这就需要我们把这个实际问题，化成数学的方法来解决。我们可以这么做：
假设： A=甲杯、 B=乙杯、C=丙杯
        1=白开水、 2=果汁
那么，A=1表示甲杯子中是白开水；同理，B=2 表示乙杯子中是果汁；此时，只需交换变量A、B的值，就可以解决问题了。
这里，A=1 ，B=2 就是我们这道题目的数学模型。这样可增强计算机学习和使用能力。
5、数学建模活动有利于推进中学数学素质教育
在中学,数学课占着很大的比例,如何通过数学教学进行素质教育是值得探讨的问题,笔者认为,在大学中开展数学建模活动有助于提高中学教师的科技素养,能更好地推动中学素质教育。参与过数学建模活动的大学生进入中学后,在中学数学教学中可以适当地进行数学建模的启蒙教育,对培养中学生的理解能力、抽象能力、应用能力有积极作用。人们在生产和日常生活中会不断遇到与经济活动有关的数学问题, 如现实生活中普遍存在着最优化问题----最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输、水土流失等问题中涉及的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解。现实生活中的许多经济问题，如增长率、利息（单利、复利）、分期付款等与时间相关的实际问题；生物工程中的细胞繁殖与分裂等问题；人口增长、生态平衡、环境保护，物理学上的衰变、裂变等问题，常通过建立相应的数列模型求解。现实世界中涉及一定图形属性的应用问题，如航行、建筑、测量、人造卫星运行轨道等，常需建立相应的几何模型，应用几何知识，转化为用方程或不等式，或三角知识求解。所以,在数学教学中,适当地举一些这方面数学建模的简单例子,可以激发中学生的学习兴趣,培养他们的理解能力,学会思考问题、解决问题的方法,为他们今后成才奠定基础。
    三、存在的问题及解决问题的建议
(一) 数学教育观念的问题
数学建模活动促进了数学教育观念的改变, 符合素质教育的思想。在高等院校, 数学教育多倾向于“工具性”的理解, 甚至把高等数学看成为专业课程服务的工具。这种现象在理工科(师范院校除外) 尤为严重。其实大学数学教育的根本任务就是通过教学活动, 让学生学习掌握数学的思想、方法和技巧,并能学以致用, 初步具备自学所需的更深入的数学能力。使得受教育者在数学观念、意识方面, 思维品质、个性品格方面, 应用创新、解决问题方面都得到提高, 也就是提高受教育者的数学素质。但由于现在滞后的教育观念的束缚, 这个任务还远未实现。大多数学生学习很多数学知识而不知道如何应用它, 使得数学教育和实际应用严重脱离学生很自然地认为数学是一种无用的东西, 这也极大地影响了学生学习数学的积极性。事实上“数学知识的二重性——归纳性和演绎性”,“数学教育功能的二重性——文化教育功能和技术教育功能”是培养学生理性思维的重要载体。它主要运用的是逻辑、思维和推演等理性思维方法。这种理性思维的训练是其他学科难以代替的。这种理性思维的培养对提高大学生全面素质, 分析能力的加强, 创造意识的启迪都是至关重要的。而数学建模将数学知识和实际有机地结合起来, 并充分发挥了数学的归纳性和演绎性, 加强了学生的理性思维训练, 提高了学生驾驭数学知识的能力。
(二) 对数学建模的几点建议
事实上,“伴随电脑与软件工业的不断发展, 各种‘数学技术公司’的出现, 将形成繁忙的‘数学市场’。”数学不仅仅是“工具”, 而且将直接参与经济活动。因此在不影响正常教学秩序的条件下, 大力开展数学建模活动是符合时代要求的。
1、从思想观念上, 要充分认识到数学建模活动有利于促进高等数学教育改革, 符合国家教委全面推行素质教育的思想。院校领导必须要给予充分重视和大力的支持。要统一全校师生的思想认识, 在高校给予数学教育一个正确的位置。要转变对数学建模活动的认识, 不要为了竞赛而竞赛。要重过程, 轻结果; 要重参与, 轻奖励。
2、从组织形式上, 要不拘一格。在有条件的院校, 可以以学生班级为单位, 组织5～ 8 名学生参加学校或系部内组织的数学建模竞赛, 从而加大学生参与的份额, 提高数学建模活动的“普及”程度, 使更多的学生有机会参与到数学建模活动中来。这有利于形成良好的数学学习氛围, 提高学生的学习兴趣。更有利于学生把数学同知识, 同周围的实际情况联系起来。
3、从师资队伍建设上, 要加大投入。要大力培养一批年富力强、经验丰富的中青年指导教师队伍。建立一套完整的激励机制, 鼓励中青年教师积极投入到数学建模活动中来。这正如一位著名的数学家指出的那样,“学习数学建模的唯一方法就是实际去做数学建模”。此外, 要加强后备力量的培养, 加大师范院校数学系学生和理工科院校学生数学模型课程开设的力度, 便于他们在今后有机会从事教学活动时, 做好知识上的准备。