对二元复合函数及其性质的探讨

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 对二元复合函数的探讨
 [摘要]本文对二元复合函数加以分类，并对其极限，连续，可微，可积等性质进行探讨。
[关键词]二元复合函数   极限    连续   可微   可积
 复合函数贯穿于微积分的始终，其导数和积分在微积分中占有相当重要的地位。二元复合函数是复合函数的一种，将一元复合函数的概念类推至二元复合函数，可得许多类似于一元复合函数的结论，同时在现实生活中也确实存在着许多变量间相互依存的“链式关系”，因此无论从理论或者实践的角度看，研究二元复合函数及其性质都是非常必要的。
 一、二元复合函数的概念及分类
 1.复合函数的概念：设函数                
而                          
且
则是以为内函数，为外函数的复合函数。
 2.分类
本文主要针对复合结果为二元函数的复合函数进行分类
 （1）外函数为一元函数，内函数为二元函数，
  （2）外函数为二元函数，
a：中间变量均为一元函数，即内函数均为一元函数.

b：中间变量均为二元函数，即内函数均为二元函数

c：中间变量既有一元又有二元函数，
 
 （3）外函数为n（n大于等于3）元函数，内函数为分别含有不同自变量的一元函数或至少有一个二元函数。
 
 二、二元复合函数的性质
 1．极限 
 1．1一般情形
 （1）中间变量均为一元函数的情形
定理1  如果函数，当时，极限存在且为a，当时极限存在且为b而函数在点处连续，则复合函数，当时，极限存在等于
证明：对在点处连续,
 ∴,
 
，