充分发挥每道题目的探索价值

新课程的教学理念之一，是要求学生能自主地探索问题，而教师则应成为学生学习过程的组织者、合作者和指导者，并引导学生自主地获取知识和技能。学生的探索能力的形成，要靠教师一点一滴地培养。在教学过程中，应注意挖掘每道题目的探索价值，力求多给学生设计一个良好的探索素材。
 例如，如图所示，AB是⊙O的一条弦，点C为弧的中点，CD是⊙O的直径，过C点的直线L交AB所在的直线于E点，交⊙O于点F。（1）判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论。（2）将直线L绕C点旋转（与CD所在的直线不重合），在旋转过程中，点E、点F的位置也随之变化，分别作出L旋转到不同位置时所形成的图形，并判断在各种条件下（1）的结论是否成立。
 解：（1）∵C是弧的中点，CD是⊙O的直径
 由垂径定理得
       CD⊥AB，
 ∵∠CFD 所对的弦是直径 
 ∴∠CFD = 90°，
 ∴∠ FDC+∠FCD = ∠CEB + ∠FCD = 90°，
 ∴∠FDC = ∠CEB
 即   ∠CEB与∠FDC的数量关系是相等。
 第（1）问学生很容易就给出证明，第（2）问难度较大，大多数学生束手无策，或不能给出完整的答案。这时不要就题论题地去引导学生分析题意，找出解题思路。而要更多引导学生去深入思考，亲自动手去操作，在操作的过程中寻找解决问题的方法。
引导学生寻找探索的起点及线索
 当直线L绕C点旋转时，⑴的结论是否还成立呢？这个问题可以给学生一个很大的探索空间，探索应从什么起点开始，又从何角度切入呢？怎样才能使探索顺利展开，并能顺利进行，直到找出结果呢？这些问题许多学生不会注意也很少会去思考的。
 这时要注意培养学生探究要循序渐进，不可以盲目。要注意客观实际，本题是由直线旋转而引起条件的变化，那么抓住旋转是以谁为旋转中心，从什么位置开始，向什么方向转，转多少度这几个关键问题，就可以找到探索的起点及线索。直线L是以C为旋转中心，从CD开始向顺时针方向旋转。不妨让直线转动，我们可以沿着直线旋转到不同的位置所产生的不同的关系，进行比较分析观察，从中找出题设是怎样变化的，在该题设下将有怎样的结论，这样学生就找到了探索的方向 ，并能紧紧围绕探索方向展开思考。
探索步骤的细分
  学生在探索时，思维常常会出现片面性、跳跃性，缺少动态连续性，从而使得出的结论残缺不全。这时引导学生，在观察事物时要细心，要沿着直线L的旋转来观察，从变化规律中找出那些具有相同或相似的规律，作为一类问题，区别于由于变化而产生的与前者变化规律不同，而形成另一类规律作为另一问题，这样就可以确定研究的步骤。
 这道题目不仅可以给学生一个很大的探索空间，而且，动手操作性强，还需要学生有敏锐的观察能力，我将学生分成4人一小组，组成一个研究、交流、创作的集体。学生亲自动手将直线L旋转，画出L与圆弧的交点在各种不同位置时，所产生的△CEH与△FDC，在这个过程中，师生之间，小组成员之间，一起动手，一起讨论，彼此启发，互相带动，逐步形成解决问题的途径。
 由直线的转动而引起点、线的位置的变化，又会怎样引起△CEH与△FDC图形的变化，通过观察各种条件的变化规律，学生可以在直线L旋转一周的过程中，划分出几种不同的情况，并探究出划分的依据，给出证明。
 通过观察这两个三角形的变化，可以确定划分依据，归纳出有8种不同的情况：⑴直线L与圆弧的另一个交点F在弧的内部（不包括弧的两个端点）时，所产生的图形如图1所示 。⑵直线L交圆弧的另一个交点F交于A点时所产生的图形，如图2所示。⑶直线L与圆弧的另一个交点F交弧的内部（不包括两个端点）时，所产生的图形如图3所示。⑷直线L与圆弧的另一个交点F交于圆弧于C点时，即L∥AB，此时，△CEH与△FDC不存在，所产生的图形如图4所示。⑸直线L与圆弧的另一个交点F交弧于F（不包括两个端点）时，所产生的图形如图5所示。⑹直线L与圆弧的另一个交点F交于B点时，所产生的图形如图6所示。⑺直线L与圆弧的另一个交点F交弧的内部（不包括两个端点）时，所产生的图形如图7所示。⑻直线L与圆弧的另一个交点F交于D点时，所产生的图形如图8所示。
探索结果及结果的论证
 直线L绕C点旋转一周，与圆弧交点F的位置，可以把探索过程划分成8个区域，在每个区域内，根据所得到的图形，以及题设进行论证得出该区域结论。在这一阶段中，不难发现在直线旋转所形成的图形中，当题设相同，结论相同，当题设发生变化时，结论也将变化。
探索思维严密性与批判性（探索结果的反思）
 在证明过程中学生发现前三种图形的证明方法雷同，结论相同，则一部分学生就不假思索地下结论，同理可得，得出其余图形结论也相同的错误的结论。
  
  对探索出的结果，不能急于下结论，认为它一定完全符合客观实际 、一定是正确的，而要对它进行仔细地观察，严密地论证之后才能下结论。
  观察图⑴与⑺，⑵与⑹，⑶与⑸，可以看出，在一定的条件下，这三组图形中的两个图形是关于直径CD轴对称，其中⑶与⑸图形对称结论也相同，而⑵与⑹，⑴与⑺图形对称而结论却不同。都是对称图形为什么结论有的成立有的不成立呢？
 这又可以给学生一个探索的空间，当几个命题所具备的条件相同，则推出的结论也相同，当条件有所变化则结论就不一定一样，本例就是一个很好的例证。
 本例中，圆和△CDF都是关于直径CD对称，而∠CEB就不是关于直径CD对称，所以当直线与圆无论交于圆的左边还是右边圆和△CDF所具备的条件没有变化，而∠CEB所具备的条件将发生变化，所以∠CEB就不会与∠CDF相等。
 对探索结论的反思，也是一个很重要的步骤。反思的过程能对自己所归纳、分析、推理的过程进行检验，再思索，并及时对所得出的结论进行完善，它是圆满完成一个探索过程的必不可少的一步。
 新教材中，有许多的内容我们都可以很好地挖掘，使它成为培养学生探索能力的工具，在学习中，逐渐形成学生的探索能力。