【摘要】 在对幅度量化杂散信号的特性进行讨论的基础上，用信号分析法着重对无相位舍位情况下幅度量化杂散信号的频谱特征及能量进行了分析，并用离散付里叶变换法通过仿真得到了一些关于幅度量化杂散水平的定量结论。
【关键词】     直接数字频率合成     幅度量化杂散

引言
    直接数字频率合成（DDS）是一种新型的频率合成方法，它以极高的频率分辨率、连续的相位变换方式、极快的频率转换速度和极低的相位噪声而在众多电子领域得到了越来越广泛的应用，并被视为频率合成发展的方向。但DDS的全数字结构也使得它有较大的输出杂散，这一缺点是限制DDS进一步应用和发展的主要因素，因而杂散分析是当前DDS的研究重点。幅度量化是DDS杂散的一个来源，由于幅度量化杂散信号的幅度通常远小于由相位舍位和DAC误差引起的杂散信号幅度，因而一直没有受到足够的重视，但幅度量化杂散作为三大杂散之一，对其进行系统分析不但有重大的理论价值，而且对DDS的工程应用有很重要的指导作用，特别是在无相位舍位情况下，其作用就更为重要。

1   幅度量化杂散分析概述
11  DDS的工作原理
    DDS的工作原理框图如下图所示:

    它由相位累加器、只读存储器ROM、数模转换器DAC及低通滤波器组成。图中fc为时钟频率，f0为输出频率，K为频率控制字，N为相位累加器的位数，W为相位累加器的输出位数（用B表示相位累加器寻址时舍去的位数，则有N＝W＋B），L为ROM的输出位数。频率控制字K在每一个时钟周期与相位累加器累加一次，得到的相位值被送到ROM中对其进行查表，ROM将相位值转换为与之对应的正弦幅度值（或其它波形信号的幅度值），该数字化的幅度值序列经数模转换和低通滤波后即为所需的输出频率f0，f0由fc和K共同决定，满足关系：
                          
最小频率分辨率为：
                           Δ
 由工作原理可知，DDS的杂散信号有三个来源：一、相位舍位。为了得到很高的频率分辨率，相位累加器的位数N通常做得很大，但实际中由于受体积和成本的限制，用来寻址ROM的位数W要小于N，查表时相位累加器的低B位就被舍去，因而会引入相位舍位误差。二、幅度量化。任意一个幅度值要用无限长的比特流才能精确表示，而实际中ROM查询表的输出位数L是个有限值，这就会产生幅度量化误差。三、DAC的非理想特性。DAC的各种非理想转换特性会影响DDS输出频谱的纯度，产生杂散分量。在DDS相位舍位杂散的分析上，国内外提出了杂散信号模型法和波形分析法，并已得出了较为成熟的结论，而关于幅度量化杂散方面的结论目前尚嫌不足，对幅度量化杂散的分析也就显得很有必要。
 
12  幅度量化杂散信号的特性分析
    首先定义λ＝Gcd（，）=，以及g = ==,可知是一个奇数。于是该DDS就可以等效成一个累加器位数为M = N－r，频率控制字为奇数，累加器舍去位数为A = B－r的DDS。当不存在相位舍位误差时（此时K = m·，m为整数，等效后的M小于或等于W），在t = n·Tc时刻，均匀量化条件下幅度量化杂散信号e（n）为：
      e（n）=                （1）
e（n）是一个离散序列，经DAC后转变为时间连续函数e（t）：
      e（t）= e（n）                                 （2）
式中是宽度为Tc的窗函数，e（t）可以看成是e（n）经过一个脉冲响应为h(t) =的系统后的信号，系统函数为H()  = Tc, 因而要对e（t）进行分析只需分析e（n）就可以了。当存在相位舍位误差时，在t = n·Tc时刻，由相位舍位和幅度量化共同引起的杂散信号R（n）为：
      R（n）=        （3）
如果对R（n）进行分解，由相位舍位引起的杂散信号P（n）为：
      P（n）=                 （4）
由幅度量化引起的杂散信号e（n）为：
   e（n）＝（5）
    可以看出，R（n）= P（n） + e（n）
    综上，幅度量化杂散信号在不同情况下可归结为e（n）和e（n）两种类型，它们都在区间（-，）上取值，通常远小于P（n）的值。由（1）式和（5）式可以看出，e（n）和e（n）是两种特性不同的杂散信号。e（n）的特点是周期长，能量在频域上分散，例如当K为奇数时，e（n）的周期V =  = ,（N的典型值为32，48）这时e（n）的频谱在区间[0，fc)上有V = 根谱线，表现为背景杂散。要想精确求出每根谱线的频谱系数需对e（n）作V点的离散付里叶变换，由于V值很大，而每根谱线的频谱系数值又很小，这是不现实的，对e（n）杂散水平的分析通常是将e（n）值看成随机量，用统计方法求出杂散总能量，用这种方法得到的总信杂比为：
                SNR dB  =  6.02L + 1.75  dB
 同e（n）相比，e（n）的周期要小得多，因K = m·，e（n）的周期U =   = （目前DDS芯片中W值的范围为8至15），可见，e（n）的频谱在区间[0，fc)上至多有根谱线，杂散能量较集中，可以通过对e（n）作U点的离散付里叶变换精确求出每根谱线的频谱系数，下面就对它进行分析。
 
2  无相位舍位情况下幅度量化杂散信号e(n)的分析
2.1  关于e(n)频谱及能量的几个结论
    我们首先根据数字信号分析理论，通过分析e（n）的波形特征得到几个关于其频谱及能量的几个结论。
    结论一：e（n）的频谱中只含奇次谐波。
    先说明一下，由于ROM只输出正值，所以DDS结构中ROM和DAC之间有一个符号求补器，当两个正弦相位采样点的相位值相差的奇数倍时，由（1）式可知，对应两个采样点时刻的e（n）值互为相反数。我们知道，DDS输出信号f0的周期T0 = Tc·=Tc·，e（t）的周期为Tc·U = Tc·，则每个e（t）周期中包含的输出正弦信号周期的个数为：
                 （）＝
    由前面知道，是奇数，这样，个正弦信号周期中包含U个采样点（U是偶数），在每个e（t）周期中前/ 2个正弦周期和后/ 2个正弦周期内各有U / 2个采样点，且前/ 2个正弦周期内第n个（nU / 2）采样点的相位值和后/ 2个正弦周期内第n个采样点的相位值相差·，故对应两个采样点的e（n）值互为相反数，即e（n） =－e（n + U / 2），可见，e（n）前后两个半周期的对应值互为相反数，e（n）是一个奇谐序列，因奇谐序列只含奇次谐波，故e（n）的频谱中只含f0 /，3f0 /，5f0 /……（－2）f0 /，f0 /，（+2）f0 /……等奇次谐波分量，f0 /是基频。离主频f0最近的两频点是（－2）f0 /和（+2）f0 /，它们离主频点的距离为2f0 /。从以上分析也可看出，当DDS产生的是前后半周期反对称的非正弦波形时，幅度量化杂散信号的频谱中也只含奇次谐波。                               
    结论二：当M值确定时，e（n）的杂散总能量是确定的，与X所取的具体值无关；在M值变化的情况下，e（n）的杂散总能量只有W种可能值。
    因X为奇数，e（n）周期U =，由DDS工作原理可知，任何一个采样点的值只能是的整数倍，而在(0，2]区间内只有，2·，3·……·等个值是是的整数倍，因而一个e（n）周期中个采样点的相位值只能在这个值中取，且每个值只能被取一次，只是当K值不同时，取值的顺序有所不同；相应地，e（n）在一个周期内的个取值也是确定的，X只决定取值顺序，e（n）的个确定值在一个周期内排列顺序的不同并不影响其总能量，它是随M值的确定而确定的。由前面分析可知，在K = m·的情况下，等效后的M小于或等于W，M只有W种可能值，故在M值变化的情况下e（n）的总能量也只有W种可能值。
    结论三：当等效后的累加器初始相位值 P是整数时，e（n）各次谐波谱线的频谱系数模值同 P的具体值无关。
    在上面的等效中，我们假设了频率控制字为K时累加器的初始相位值P = 0，若P不为0，则等效后的初始相位值P = P /，这时P可能是小数。当P是整数时，它的取值区间是[0，)，由结论二中分析可知，这时一个e（n）周期中个采样点的相位值仍只能是的整数倍，在M和X都确定的情况下，e（n）在一个周期内的个取值以及值的排列顺序都是确定的，只是当P值不同时，e（n）序列的起始值是不同的，这种起始值的不同相当于信号在时域上的平移，根据时频对应关系，时域平移不影响频谱系数的模值。当P是小数时，这个结论不再成立。
2.2  e(n)的离散付里叶变换法分析
    由于e（n）的周期U相对较小，对它作U点的离散付里叶变换来精确分析其频谱是能够做到的。我们通过快速付里叶变换程序对e（n）的杂散水平和规律进行了仿真，仿真结果同2.1中所论证的三个结论是一致的，这里不再一一列举，下面是通过分析仿真结果得到的另外几个结论。
    结论四：e（n）的能量在频域上呈集中分布，当U值较小时（U，L = 12）,杂散能量最大的频点集中在输出频率f0的最小的几个奇次谐波点处，即3f0，5f0，7f0……处；当U的值较大时（左右），能量最大的频点密集分布在f0的最小的几个奇次谐波点的周围。两种情况下杂散能量的集中程度不随X值的变化而变化，而是由U和L决定的，当L不变时，能量最大杂散点处的杂散能量随U的增大呈减小的趋势。下面通过仿真结果来说明。
    图1是L = 10,U = ,X = 3277时e（n）的仿真功率谱图，此时f0 = fc / 10。图2是L = 10,U = ,X = 2731时的仿真功率谱图，此时f0 = fc / 12。可以看出，杂散能量最大的频点集中在f0，3f0，5f0……的周围，当X变化时，这种规律不改变。
    为了更好说明这个结论，下面给出一组程序仿真结果，表中值为能量最大的杂散点所对应的信杂比（dB）。
L  U=215  U=212  U=211  U=210  U=29  U=28  U=27
10  85．03 82．56 80．33 74．76 74．70 73．57 72．63
12  99．52 94．01 92．33 87．74 85．19 83．74 82．18
    结论五：e（n）的杂散总能量基本上同U值无关，主要由L的值决定，L每减小两位，总信杂比约降低12 dB。
    下面是一组程序仿真结果，表中值为总信杂比（dB）。
L     U=210     U=29     U=28    U=27
  8    49.59    49.78     50.11     49.81
  10    61.99    61.76     61.95     61.59
  12    74.00    73.87     73.95     74.15

参考文献：
[1]  张玉兴，彭清泉. 直接数字频率合成器的频谱分析.DDS技术与应用研讨会论文集(合肥)，1997.
[2]  罗伦.直接式数字频率合成器DDS的频谱分析及性能改善.国防科技大学研究生院， 1998.