基于LV-SVMs 的UUV NARX动态辨识模型(二)

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根据KKT 条件可得5L5ω = 0 →ω = Σli = 1αiφ( xi )5L5b= 0 → Σli = 1αi = 05L5ei= 0 αi = Cei5L5αi= 0 →ωTφ( xi ) + b + ei - y = 0
消去原始变量ω、ei 可得对偶问题:
0 I TvIv K + 1/ Cbα=0y 式中: Iv = (1 ,1 , ⋯,1) TKij = φ( xi ) Tφ( x j ) 　i , j = 1 ,2 , ⋯, l
y = ( y1 , y2 , ⋯, yi ) Tα = (α1 ,α2 , ⋯,αi )
通过求解上面的线性方程,求出α和b , 可得最小二乘模型:
y ( x) = Σαi K ( xi , x) + b
其中核函数K( xi , x) 是满足Mercer 条件的任一对称函数。常用的核函数有: (1) 线性核
K( xi , x) = x T x i ;
(2) 径向基核
K( xi , x) = exp ( -‖x - xi ‖22σ2 ) ;
　　(3) 多项式核
K( xi , x) = ( x T x i + 1) d , d = 1 ,2 , ⋯, N本文采用径向基核函数。
2. 2 　核参数的选择
　　由上述算法推导可知,对于采用径向基核的最小二乘支持向量机的主要参数是正则化参数C和径向基核参数σ ,这两个参数在很大程度上决定了最小二乘支持向量机的学习能力和泛化能力。根据文献[5 ]采用多层动态自适应优化方法。具体步骤如
下:
(1) 确定参数C 和σ取值范围,依据最小二乘支持向量机原理,最大取值范围是
C ∈ [0. 1 ,10000 ] ,σ ∈[0. 1 ,100 ] 。
(2) 在最大取值范围内选取参数值,构建参数对( Ci ,σj ) 二维网格平面,其中
i = 1 ,2 , ⋯, m; j = 1 ,2 , ⋯, n 。例如,两个参数各选取10 个数值,则构成10 ×10 网格平面和100 个( Ci ,σj ) 参数对。对于参数选取有两种方法:第一种是,首先确定两个参数的取值范围,再根据所需参数对数进行均匀取值;第二种是,根据学习样本的特征和经验确定参数对值。
(3) 输入每个网格结点的参数对( Ci ,σj ) 到最小二乘支持向量机中,采用学习样本进行学习, 并输出学习误差。取最小误差对应的节点值( Ci ,σj ) Emin 为最优参数对。
(4) 如果学习精度没有达到所需要求, 则以( Ci ,σj ) Emin 为中心,构建新二维网络平面,选取数值相近的参数值进一步学习,从而获得更高精度的学习结果。这个新参数选取过程是自动执行的,经验表明,一般以( Ci ,σj ) Emin 值的0. 01～5 倍为一个扩展网格宽度,构建新参数对( Ci ,σj ) 二维网格平面,其中i = 1 ,2 , ⋯, k ; j = 1 ,2 , ⋯, l 。以此类推,可构造多层参数优化网格平面,不断优化最小二乘支持向量机参数,直到达到需要的学习精度。
3 　UUV 动态辨识模型
　　UUV 的水下运动是一个及其复杂的过程,共包括六个自由度,每个自由度多个参数用来描述UUV 的状态,这些参数之间都存在着非线性的关系。由文献[1 ]可以知道,通过基本的物理学定理, 可以在加速度、速度、偏航角、横滚角、UUV 推力、重力、浮力、阻力等之间建立一个6 自由度的非线性水动力方程。因此,可以采用LVOSVMs 非线性黑箱建模的方法对UUV 动态系统进行辨识。本文选取对UUV 运动姿态影响最大的两个参数: X Y 平面内的速度v ,及偏航角γ来进行建模辨识。根据现有文献,通过UUV 自带的传感器以及经过初步处理,可以得到与我们需要辨识的两个参数之间存在非线性关系的参数有UUV 的加速度Ûv和UUV 推进器的推力τ ,运用这些参数建立UUV的非线性黑箱辨识模型。引入NARX 模型如下:yt = Σni =1ai y t - i + Σmj =1bj f ( ut- j ) + et , (1)
其中yt = ( vt , γt ) 为输出项; f (·) 为一非线性函数, ut - j = ( Ûv t- j ,τt- j ) , yt- i = ( vt- i ,γt- i ) 为输入项; et为误差变量。由第一部分所述的LVOSVMs 原理,令f ( u) = ωTφ( u) + b0 , (2)选择核函数
Ωk , l = K( uk , ul ) = φ( uk ) Tφ( ul ) ,把式(2) 代入式(1)
得yt = Σni =1ai y t - i + Σmj =1bj (ωTφ( u) + b0 ) + et 。(3)
令ωTj = bjωT , d = Σmj = 1bj b0 , 代入式(3) 得yt = Σni = 1ai y t- i + Σmj = 1ωTjφ( u) + d + et 。(4)
将回归问题转化为优化问题:min J (ωj , e) = 12 Σmj =1ωTjωj +C2 ΣNt = re2t, (5)
s. t . yt = Σni =1ai y t- i + Σmj = 1ωTj φ( ut- j ) + d + et ,(6)
　ΣNk =1ωTjφ( uk ) = 0 , j = 1 ,2 , ⋯, m (7)
　建立Lagrange 函数:
L (ωj , d , a , e;α,β) = J (ωj , e) - ΣNt = rαt { Σni = 1ai y t - i+ Σmj =1ωTjφ( ut- j ) + d + et - yt }
+ mj =1βj {ωTjφ( uk ) } 。

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