对德布罗意波的研究

对德布罗意波的研究

侯强

（天水师范学院，物信学院，甘肃，天水，741000）

摘要：本文从德布罗意波的基本方程,经过系列推导,讨论了自由粒子的波动性，波函数的表达式，原子中电子绕核运动的驻波形式及实验上的证明.而电子显微镜的问世,毫无疑问的说明了德布罗意波的正确性,最后讨论了相速度和群速度的表达式,且二者的乘积为光速的平方，这些对于理解量子力学的不确定性和粒子运动的物理实质有一定程度的参考意义.

关键词：德布罗意波；二象性；波函数；相速度；波包；群速度

The Results about De Broglie wave

Hou Qiang

（TianShui Normal University ，Department of Physics, Gansu province, TianShui ，741000）

[Abstract]: De Broglie waves from the basic equations derived through series, discussed the free particle volatility, wave function, the expression of the atom in motion around the nucleus of the electron wave forms and experimental proof. And electron microscope, no doubt that DE Broglie waves, finally discussed the correctness of the phase velocity and the group velocity, and the expression of the product for speed for understanding the square, quantum mechanics and the uncertainty of the particle physics essence of reference to a certain extent.

[Keyword] : De Broglie wave , Wave-particle duality, Wavelet function, Speed, Wavelet packet, The group velocity

0.引言：

原子结构的玻尔理论所遇到的困难，说明探索微观粒子运动规律的迫切性，为了达到这个目的，1924年德布罗意在光有波粒二象性的启示下，提出微观粒子也具有波动性的假说，他认为十九世纪在对光的研究上，重视了光的波动性而忽略了光的微粒性，但在对实体的研究上，则可能发生了相反的情况，即过分重视了实体的粒子性而忽略了实体的波动性，因此，他提出了微观粒子也具有波动性的假说，德布罗意把粒子和波通过下面的关系联系起来：

1.德布罗意公式

粒子的能量E和动量P与波的频率和波长之间的关系，正象光子和光波的关系一样

 ……………………………………………………………………（1）

式中E和P表现了粒子性，和表现了波动性，这公式称为德布罗意公式。

2.自由粒子的德布罗意波

自由粒子的能量E和动量P都是常量，所以由上述公式可知，与自由粒子联系的波，它的频率和波矢（或波长）都不变，即它是一个单色平面波。

其中

当<< c时,,而 

所以

在宏观上，如飞行的子弹Kg，速度= m/s，对应的德布罗意波长为： 

 。这个波长太小，目前没有办法测量。在微观上，如电子Kg，速度 m/s，对应的德布罗意波长为：，这个和x射线的波长同数量级。可见微观粒子的波动性是可见的。

3.波函数

频率为，波长为，沿r方向运动的平面波可用下面式子表示：

kr，波矢k=2n/，角频率，n为单位矢量

写成复数形式

把（1）式代入上式，得到描写自由粒子的平面波

这种波称为德布罗意波，上式为描写德布罗意波的波函数.

4.由德布罗意波导出玻尔理论中角动量量子化条件.

一根两端固定而定长的弦上形成稳定驻波的条件为:  

若此弦线首尾相连构成一个圆, 则: 

从波粒二象性看, 原子中核外电子绕核运动有相应的波动图象.当电子在圆周上形成驻波时，满足上式，

所以： ，即角动量量子化

5. 德布罗意波的实验证明

物质波应有干涉、衍射等波的特性, 应由实验来证明

戴维孙-革末电子衍射实验，即，电子被镍晶体散射

实验原理:电子枪AD 之间有加速电压U，电子束透过D打在镍晶M上,它在晶面被散射进入探测器B.（即法拉第圆筒），G检测电子束(电流)的强度.

实验发现:加速电压U=54V,散射角=50o时,探测器B中的电流有极值. 

理论解释：

如图，，,k=1,2,3,...

可得，k=1,2,3,...

当加速电压U=54伏，加速电子的能量，电子的德布罗意波长

再由X射线实验测得镍单晶的晶格常数，求得满足相干加强条件的电子出（入）射角度： , k=1,2,3,...

, 和实验结果一致的。

戴维孙－革末实验结果表明：（1）散射电子束在某些方向上特别强；这种现象类似于x射线被单晶衍射的情形，从而显示了电子束的波动特性。（2）在某一角度下改变加速电压U以实现对电子波长的改变。实验测出的曲线反映出确实存在着电子的布洛格衍射，从而定量地证实了德布罗意所预言的实物粒子的波动性果真存在。

单晶透射实验将电子束或中子束射向单晶箔片，得到了如图所示的衍射斑,这种衍射斑与x射线透过单晶体的劳厄斑结果极为相似。

1927年，G.P.汤姆逊将电子束和中子束射向多晶箔片，在屏上得到圆环形的衍射图样, 电子及中子的这种衍射图样与x 射线衍射结果非常相似.

 

1961年约恩孙运用铜箔片形成的细微双缝进行电子干涉实验，1988年蔡林格等做了中子的双缝实验，得到了如下结果, 这个结果与光波的双缝干涉实验结果极为相似.

6.应用举例

光学仪器的分辨本领和所使用的λ射波波长成反比。由于电子波长比可见光波长小数量级，从而可大大提高电子显微镜的分辨率。1932年德国的鲁斯卡成功制造出第一台电子显微镜，我国已制成80万倍的电子显微镜，分辨率为14.4nm，能分辨大个分子，有着广泛的应用。

7. 物质波的传播速度

由波的频率、波长和波速的关系知： = u ,对物质波： 

 ……………………………………………………(2)

这里速度一般小于c，所以 u > c

由于实物粒子的静止质量不等于零，且考虑到电子射线的速度也可能很大，故能量和动量之间的关系应该用相对论的关系式，即  …………………（3）

由此得德布罗意波的相速度恒>c  ……………………………（4）

这里u 表示单色平面物质波的相速度. 相速度就是物质波相位传播的速度。通俗地讲，就是波的形状向前变化的速度。

实际的自由粒子并非严格的单色平面波,而是由波长接近的波包组成,波包的移动速度称为群速度.可证明:物质波波包的群速度恰好等于粒子的运动速度,它不会超过光速.

我们希望每时都能确定粒子的位置,是否可尝试把波函数取一波包的形式.波包就是这样一种波,在某一范围内, 有一定数值,而在这范围外急剧变为零.考虑这样一种波,它是由在附近, 和区间的许多单色波组成.即把这一区间的波相加起来,得到

……………………………………………………(5) 

另外,单个波的波相速u=/k=E/P.显然,是k的函数,由于很小, 可按的幂次展开为此外,A()看作k的缓变函数,可拿到积分号外。令=k-，则

 ………………………(6)

           …………………….…(7)

现在分析振幅C（x,t）依时间变化的情况，当时，C（x,t）有最大值，x偏离该点越远，C（x,t）值越小。可以看出，这一波集中在一小区间，而在此区间外迅速降为零，这种波就是我们前面说的波包。下图给出t=0时波包的波形。

从图中可以看出，波包最大值在x=0处，值为，在，(n=,…)的位置，振幅为C（x ,t）为零，波包宽度可视为波包占据的空间。的点叫做波包的中心，波包中心以速度运动，这一速度即前面说的群速度。在任何固定时刻t，波的振幅只在波包中心邻近处取较大的值，而在离波包中心较远处则越来越小。波群速=… (8)

(8)式说明波群速等于粒子的速度，似乎是说波包中心类似处于该点的粒子，如波包永远保持原型而不随时间扩散的话，那么完全可用这样的波包来描写粒子的运动。

考虑到相对论时，波群速为……………………（9）

此外，波群速不同于各个波的波相速，这就是说，波相速u依k而变，即不同波长的波在真空中传播的相速不同，不同波长相应有不同的速度，这种现象叫做色散。因此，徳布罗意波不同于电磁波，其在真空中也存在色散现象。这种情况下可以证明，波包将扩散，即随时间增加，波包将展宽，由此看来，用波包等效于粒子的运动是不可能的。但这仍是揭示微观世界特性的一条重要线索

（2）式和（8）式可得到，相速度与群速度的乘积恰好是。考虑到相对论情形，由（4）式和（9）式也可得到，相速度与群速度的乘积恰好是的相同结果

8. 德布罗意波的统计解释

作为粒子具有“整体性”，即不可分性.不是经典粒子,没有“轨道”概念，这是微观粒子的粒子性。具有“弥散性”“可叠加性”“干涉”“衍射”“偏振”，具有频率和波长，不是经典的波 不代表实在的物理量的波动。这是微观粒子的波动性。前面讲过了，用波包等效于粒子的运动是不可能的。在电子衍射实验中,电子总是作为整体出现的,它出现的概率与空间波的强度成正比.因此玻恩认为: 在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比.

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