浅谈计算机的数学基础

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[摘要]：计算机科学的理论学科形态是基于数学的，所以，数学是计算机科学的主要基础，以离散数学为代表的应用数学是描述学科理论、方法和技术的主要工具。计算机科学与技术学科中不仅许多理论是用数学描述的，而且许多技术也是用数学描述的。
[关键词]：应用数学基础计算机
计算机科学的理论学科形态是基于数学的，所以，数学是计算机科学的主要基础，以离散数学为代表的应用数学是描述学科理论、方法和技术的主要工具。计算机科学与技术学科中不仅许多理论是用数学描述的，而且许多技术也是用数学描述的。
近年来，学科的高速发展已经明确地反映出这样一个特点：学科基础研究和技术开发越来越多地同数学建立更为紧密的联系，对各种数学工具的使用不仅越来越广泛，而且越来越深入。例如，逻辑学在学科中的应用从早期的数理逻辑发展到今天的模型论和非经典逻辑；代数学在学科中的应用从早期的抽象代数发展到今天的泛代数；几何学的应用从早期的二维平面计算机绘图发展到今天的三维动画软件系统；并在与复分析的结合中产生了分形理论与技术；在数据压缩与还原、信息安全方面引入了小波理论、代数编码理论等；非线性规划方法在复杂动态问题中的处理等都已经在学科中找到具体应用。
电子计算机快速、准确的演算能力给数学方法带来了革新。它的应用改变了那些被认为“纯数学”、“纯理论”根本无法求解的数学方程，能够直接与生产结合，定量地指导生产实践，如量子力学中的薛定谔方程等。它的应用使数学方法渗透到各个领域，特别是渗透到那些过去被认为与数学关系不大的学科领域，产生出新的数学分支，如计算天文学、计算物理学、计算化学、经济数学等等。它的应用促进了数学本身的发展，使这门一向置身于实验科学之外的科学挤进了实验学科的行列，使数学的面貌为之一新。人们利用电子计算机快速、准确的计算性能，可以对某些数学问题的求解进行试算工作。如美国数学家多拉，运用这种数学试验方法，探讨了非线性现象，用计算机求解，结果在荧光屏上找到了非线性方程的数学解（孤立子方程）。这是计算机应用史上的重大突破，它体现了数学方法的重大变革。电子计算机的应用使系统方法由定性到定量研究事物、解决问题成为可能。如果没有计算机，要运用系统方法解决最优设计、最优控制、最优管理是不可想象的。
在很大程度上，计算机科学与计算机“智能”是极大地借助了数学的神秘性才赢得在大众文化中的崇高声誉的。从毕达哥拉斯到柏拉图一直到笛卡尔、罗素，在西方哲学史上，数学一直具有很高地位，被认为是真理的化身与理性的表征。人们从对数学思想的迷恋进而产生对数字与数学逻辑结构所具有的明晰性的景仰。而现代的信息论与控制论不但使数学逻辑结构得到了某种新的发展，同时也继承了自毕达哥拉斯开始的数学本身所具有的某种神秘主义色彩。在那个神秘的“方盒子”里，人们根本看不到计算机是如何处理信息及进行复杂运算的，没有中间步骤，只有快速而精确的结果。但罗氏指出智力活动并不就是计算过程，所谓的“人工智能”一旦超出纯理性的界限，或者试图把纯理性的规律向现实世界推广，便会立即显出数学逻辑的众多局限。
计算机科学的逻辑基础与构造性数学的逻辑基础是一致的，即构造性逻辑。直觉主义逻辑与形式主义逻辑的思想方法在学科的发展中都有广泛的应用，它们构成了整个学科最重要的逻辑思想基础。但是，从图灵机的诞生，学科基本问题，学科发展的历程、特点和规律进行考察，直觉主义逻辑仍是整个学科赖以发展的最主要的基石之一。
计算机系统运行的严密性、学科理论方法与实现技术的高度一致是计算机科学与技术学科同数学学科密切相关的根本原因。从学科特点和学科方法论的角度考察，计算机科学与技术学科的主要基础是数学，特别是数学中以代数、逻辑为代表的离散数学；而程序技术和电子技术仅仅只是计算机科学与技术学科产品或实现的一种技术表现形式。
数理逻辑与抽象代数是学科最重要的两项数学基础，它们的研究思想和研究方法在学科许多有深度的领域得到了最广泛的应用。可以从下列几个方面认识数理逻辑和代数在学科中的地位和作用：
（1）首先，从计算模型和可计算性的研究来看，可计算函数和可计算谓词是等价的，相互之间可以转化。这就是说，计算可以用函数演算来表达，也可以用逻辑推理来表达。作为计算模型可以计算的函数恰好与可计算谓词是等价的，而且，数理逻辑本身的研究也广泛使用代数方法；同时，逻辑系统又能通过自身的无矛盾性保证这样一种计算模型是合理的。由此可见，作为一种数学形式系统，图灵机及其与它等价的计算模型的逻辑基础是坚实的；
（2）在实际计算机的设计与制造中，使用数字逻辑技术实现计算机各种运算的理论基础是代数和布尔代数。布尔代数只是在形式演算方面使用了代数的方法，其内容的实质仍然是命题逻辑。依靠代数操作实现的指令系统具有（原始）递归性，而数字逻辑技术和集成电路技术只是计算机系统的一种产品或实现的技术形式；
（3）从计算机程序设计语言方面考察，语言的理论基础是形式语言、自动机与形式语义学。而形式语言、自动机和形式语义学所采用的主要研究思想和方法来源于数理逻辑和代数。程序设计语言中的许多机制和方法，如子程序调用中的参数代换、赋值等都出自数理逻辑的方法。此外，在语言的语义研究中，四种语义方法最终可归结为代数和逻辑的方法。这就是说，数理逻辑和代数为语言学提供了方法论的基础；
（4）在计算机体系结构的研究中，像容错计算机系统、Transputer计算机、阵列式向量计算机、可变结构的计算机系统结构及其计算模型等都直接或间接与逻辑和代数密不可分。如容错计算机的重要基础之一是多值逻辑，Transputer计算机的理论基础是CSP理论，阵列式向量计算机必须以向量运算为基础，可变结构的计算机系统结构及其计算模型主要采用类似于语义学中的逻辑与代数的方法；
（5）从计算机各种应用的程序设计方面考察，任何一个可在存储程序式电子数字计算机上运行的程序，其对应的计算方法首先都必须是构造性的，数据表示必须离散化，计算操作必须使用逻辑或代数的方法进行，这些都应体现在算法和程序之中。此外，到现在为止，算法的正确性、程序的语义及其正确性的理论基础仍然是数理逻辑，或进一步的模型论。真正的程序语义是模型论意义上的语义；
（6）高等代数和一般抽象代数只解决了个体对象为简单个体的论域上的大量运算问题，对具有结构特征和属性成分的复杂个体的论域上的运算问题，表达和处理是不方便的，常常是有困难的。针对这类对象的运算操作及其正确性等语义学问题，有必要发展泛代数和高阶逻辑理论。数学学习除了对学生具有一般理工科意义上的基础训练以外，更重要的是要通过严格的训练，逐步实现思维方式的数学化。
目前，国内外大多数计算机科学与技术工作者数理逻辑基础知识只涉及到命题演算、一阶谓词演算和少量的逻辑系统演算特征（范式部分），近世代数基础知识只涉及群、环、域和格，尚未具备逻辑演算的系统特征中等值代换（替换）和逻辑公式的计算（无嵌套范式和逻辑演算归约等）基础知识、模型论基础知识和泛代数基础知识，这在今后深入研究具有复杂结构的对象的表示、操作和计算的正确性、人工智能的逻辑基础和非确定性计算问题时常常是不够的。要使工程师在今后的知识更新中能比较顺利地深入掌握新知识，必须加强数理逻辑、抽象代数、集合论、图论、理论计算机科学的修养。因为，理论计算机科学的内容中包含了大量本学科最基本的方法和技术思想。
下面从分析影响数学变革的条件的重大变化开始分析计算机科学对数学的影响。
科学技术的迅速发展，特别是信息时代的到来，要求人们具有更高的数学修养。高科技的发展、应用，把现代数学以技术化的方式迅速辐射到人们日常生活的各个领域，智能机器人、办公自动化以及计算机储蓄、售货等电子产业将高速发展并深入到社会生活的各个方面。
生活中需要越来越多的数学语言。各种统计图表、数学符号向各行各业普通老百姓传递着大量信息。其次，数学及其应用有很大变化，不仅发现了许多新的数学领域而且应用数学的问题类型以空前的速度增长。当然，最显著的是计算机的发展和计算机应用的迅速增长。这些计算机的应用绝大多数都要求发展新的数学，这使得在计算机出现以前不可能在这些领域应用的数学得到进一步的应用和发展。
数学的发展使人们对“数学是什么”的认识有了变化。数学是一门科学。观察、实验、发现、猜想等数学的实践部分与任何自然科学是一样多的。尝试和错误、假说和调研，以及度量和分类是数学家常用的部分技巧。实验室作业和实习作业对于理解数学是什么及其如何使用不但是适宜而且是必需的。在数学实验室里计算器和计算机是必需的工具。实际数据（科学实验、人口统计、民意测验等的数据）、观察和度量的对象（骰子、方块、球）以及作图工具（尺子、细绳、量角器、胶泥、坐标纸）都是必需的。
像生物是有机体的科学、物理是物和能的科学一样，数学是模式的科学。这种表述至少可以回溯到笛卡尔，他把数学称作“序的科学”，后来物理学家史地文·温伯格（Steven Weinberg）用它去解释数学预测自然的神奇能力时作了改进。类似地把数学看成“模式与关系”的科学，形成了在《美国大众科学》(Science for All Americans)中表述数学的基础。通过它们的所有表现形式数、数据、形、序，甚至模式本身来划分、解释和描述模式，科学家遇到的任何模式都可以在某处解释为数学实践的组成部分。
数学也是一种交流形式，它是自然语言的补充，所以数学不仅是一门科学，而且是一种语言；不仅是自然所说的语言，而且是商业、贸易的合适语言。
数学科学现在是自然科学、社会科学和行为科学的基础。由于计算机和世界范围的数字式交流的支持，商业和工业都越来越依靠不仅是传统的而且是现代的数学分析方法。数学可以作为商业和科学的语言，准确地说是因为数学是描述模式的语言。它的符号和句法、词汇和成语是交流关系和模式的通用工具。它是一种每个人都必须学习使用的语言。
如果说数学是模式的科学和语言，那么要学懂数学就是要去研究和表示模式之间的关系：在复杂、模糊的环境中能够辨明模式；理解并变换模式间的关系；对模式进行分类、编码、描述；用模式的语言读写；并使用模式的知识达到各种实际目的。要掌握模式的多样性，数学课程需要介绍和发展多种不同类型的数学模式。数学要研究的模式不限于算术法则，所以中学数学里研究的模式必须打破人为的限制。一个研究数学的人，他搜集、发现、创造或表达关于模式的事实和思想。数学是一种创造性的、活跃的过程，与被动地掌握概念和程序很不相同的。事实、公式和信息有多大价值只有看它在多大程度上支持有效的数学活动。虽然有些基础的概念和程序是所有学生都必须掌握的，但是教学应当更加坚定地强调学数学必须追求去理解、去交流，而不仅仅是去计算，通过展开模式的基本原理，数学可以使脑子成为处理现实世界问题的有效工具。
计算器和计算机已经深刻地改变了数学世界。它们不仅影响到什么数学是重要的，而且也影响到如何发展数学，现在袖珍计算器上能够做几乎所有幼儿园到两年制大学教的数学技术，仅这一事实（巴斯卡的梦在我们这个时代实现了）就必定会大大影响数学。比如对发展常规计算技能的重视程度应降低，这就会有更多的时间来发展对数学过程的理解和推理能力；易于开发一种课程，可能加强近似计算和估算。一个学生能准确作2507×4131的乘法和能够说出结果大约是一千万,哪个更重要些呢?常常一个近似的答案不仅已经足够，而且比精确答案需要更多的洞察力。近似答案可以给精确结果提供快速检验；可以开发强调各种数学方法的更广的课程。计算机技术让数学更加实际，计算机出现之前，难以完成现实问题所要求的计算，有了计算机计算不再是障碍，只要问题能被掌握，就能解出。