论非欧几何与欧式几何之别

论非欧几何与欧式几何之别
[摘要] 欧式几何是在公元前3世纪由古希腊数学家欧几里德，总结前人的公认的几何定理加以推导而建立的，其在数学发展史中具有重要意义。在其后人的不断论证其第五公设成立的可行性中又创建了非欧式几何。非欧式几何以罗氏几何为主，其包含公理除平行公理外，其他公里均与欧式几何相同。通过对比在双曲几何的Riemann模型中，讨论测地线和测地圆周的几何性质，与欧氏空间中的直线和圆周的几何性质进行比较，最终阐明非欧几何与欧氏几何的内在差别。
[关键词] 双曲几何 测地线  测地圆周  欧式几何  非欧式几何
 一：欧式几何发展及其内部性质
 1.1欧式几何的建立
 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，是几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位。
 1.2欧式几何的特点及其核心
 在其欧式几何公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
 平行公理,也就是第五公设,是由欧几里德确定的,即经过平面外一点有且只有一条直线直线与已知直线平行”它与三角形内角和等于180度等价.但这已经是有直线平行的概念了
 n维非欧几何里的直线在n+1维欧氏空间里的看是弯的(被称为外曲率),如球面(是二维面)上的短程线(即直线)周长在三维空间里看就是弯曲的
     n维非欧几何里的线/面表现出不同于n维欧氏空间的性质决定于该空间的弯曲性(被称为内曲率),是通过一矢量绕闭合曲线平移后的变化定义的(变化为零即为维欧氏空间),该变化量与三角形内角和直接相关
 1.3欧式空间的概念
 欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。
 
 二：非欧式几何的发展及其内容
 2.1非欧式几何的建立
 非欧式几何学是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
 2.2非欧式几何的发展及其内容
 俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明科学界长期不能得证的第五公设的过程中，他走了另一条路子。他运用反证法提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
     但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
     第一，第五公设不能被证明。
     第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
 2.3罗氏几何的特点
 罗氏几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
     我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。
 三：双曲几何
 3.1双曲几何的概念
 双曲几何又名罗氏几何，是非欧几里德几何的一种特例，专门研究当平面变成鞍马型之後，平面几何倒底还有几多可以适用，以及会有甚么特别的现象产生。在双曲几何的环境里，平面的曲率是负数。
 3.2双曲几何中的数学模型
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 四：测地线与测地圆周
 4.1测地线的的含义
  测地线：又称大地线或短程线，数学上可视作直线在弯曲空间中的推广；在有度规定义存在之時，测地线可以定义为空间中两点的局域最短路径。测地线是欧氏空间中直线的自然推广, 它具有很多跟直线类似的性质.
 4.2测地圆周的含义
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4.3测地线，测地圆周在Riemann模型下的性质
 4.3.1黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
    黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
     4.3.2
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 五：结论：
通过以上论述比较可以看出欧式几何与非欧式几何有着以下明显的内在差异：
 1：欧式几何方面：
 
     ①同一直线的垂线和斜线相交。
 
     ②垂直于同一直线的两条直线或向平行。
 
     ③存在相似的多边形。
 
     ④过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
 
     2：非欧式几何（罗氏几何）
 
     ①同一直线的垂线和斜线不一定相交。
 
     ②垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
 
     ③不存在相似的多边形。
 
     ④过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
     六：参考文献