对两个负数相乘引入实际情景的思考

本论文在其他论文栏目，由论文格式网整理,转载请注明来源www.lwgsw.com,更多论文,请点论文格式范文查看曾有这样一则小故事：2001年春，袁隆平院士到武汉，谈到了在中学的经历，说到为什么“负负得正”，他一直不能理解，著名科学家不懂“负负得正”？一时成为某些人的笑谈。然而，笑谈者并不知道，我们要说清楚“负负得正”谈何容易。
要弄清“负负得正”深层次的原因，它的实际背景则是一个不能回避的问题。张奠宙教授曾在他所编写的《中国数学双基教学》的《数学双基教学和探究点的教学设计》一文中发出这样的感慨：世界上还没有发现一个为大家普遍接受的“负负得正”实际情景。可以说“负负得正”至今仍是一个困惑初中数学界的疑难问题。
从另一方面看，课程标准（实验稿）又非常重视过程与方法，因此，新教材的编写者非常关注“两个负数的积是正数”这一规律的产生和形成过程，并尽可能使学生感受到“负负得正”的合理性。
笔者目前所使用的浙江版教材，它正是试图通过实际例子的方式得出“负负得正”的结论的。请看教材（七年级上册36页——37页）关于两个负数相乘时的内容设计：
下面我们来探讨两个负数相乘的结果，先看一个实际问题：
  某一天，从上午6：00开始，一实验室内的温度控制在每时降低2℃，到12：00实验室内的温度降为0℃．问上午9：00该实验室的温度为多少摄氏度？
如果记温度上升为正，12：00的时间为零，12：00以后的时间为正，那么每时温度降低2℃可记为-2℃/时，12：00以前的时间，如9：00记为-3时．这个时刻实验室的温度用乘法可表示为（-2）×（-3）．
……，9：00该实验室的温度为6℃，所以（-2）×（-3）=6．
有很多教师按照教材的这个方案进行了讲解，他们所收到的教学效果不甚理想。比较集中的评价有：教材所设计的问题学生不容易理解，很多学生被搞得稀里糊涂，而且花不少的时间。部分教师也正是出于这样的考虑，他们在讲两个负数相乘时避开了实际例子（实际上很多版本的教材在编排时也采用了这样的策略）。
我在讲解有理数乘法之前，早已听说了教师们的这种议论。因此也对教材进行了研读，笔者以为：教材关于两个负数相乘的实际例子，本身并不存在什么错误，主要是表述时尚不够具体、清晰，从而引起了很多教师的费解。本人在讲授有理数乘法时，对于各种情形的有理数乘法（不光光是负数与负数相乘），它们的运算法则都是根据实际例子而得。上课时用的方案主体部分如下：
为了探讨两个有理数相乘的结果，我们先看几个实际问题：
（1）实验箱内的温度每小时上升2℃，则3小时后实验箱的温度比现在         ℃；（2）实验箱内的温度每小时降低2℃，则3小时后实验箱的温度比现在         ℃；（3）实验室箱的温度每小时上升2℃，则3小时前实验箱的温度比现在         ℃；（4）实验箱内的温度每小时降低2℃，则3小时前实验箱的温度比现在         ℃。
若记温度逐渐上升为正，保持不变为零，逐渐下降为负；记以后的时间为正，现在时刻为零，以前的时间为负；记温度比现在高为正，与现在一样为零，比现在低为负．则上面四个问题所对应的算式依次为：（1）                    ；（2）                 ；（3）            ；（4）                    ．
实践证明，这个方案的教学效果相当不错。第一，学生比较容易理解；第二，能使学生体验到有理数乘法法则来自于生活实践；第三，这个方案中的四个例子分别对应着四种情形的两个非零有理数相乘；第四，学生有了以上经验，教师在讲述涉及因数为零的两数相乘时，他们自己能够举出实际的例子，并给出计算结果（更进一步地就是运算法则）。
笔者觉得教材编写者想要在两个负数相乘中引入实际情景，应该注意以下三点：
第一，要弄清有理数乘法联系实际的本质
在讨论有理数乘法联系实际的本质之前，不妨先看看有理数加法的情况。有理数加法，如算式（-50）+（+30）=-20，它的实际情景可以是：服装店上午售出两件断码外套，一件亏50元，另一件赚30元，两件合计亏20元。
有理数加法与生活实际比较容易联系起来．这与有理数加法中“被加数”，“加数”，“和”它们所代表的量是同一种单位的量有关。正是由于它们是同一种单位的量，所以在有理数加法中，只要确定一个基准，并约定相应的正、负即可。象上例中三个量的单位都是“元”，以不赚不亏为基准（零），并约定赚为正，亏为负。
两个负数相乘与生活实际很难联系起来，这显然与有理数乘法中“被乘数”，“乘数”，“积”它们所代表的量一般是三种不同单位的量有关。此时，当被乘数、乘数、积都有负的可能时，若要与实际问题相联系，则必须确定三个基准，并约定三对相应的正、负。
   两个负数相乘与生活实际很难联系起来的另一个原因，则是来自于生活中很多量，它们只在非负数范围内进行取值。现在如果稍退一步，找一个“异号相乘”的实际例子，那么就会觉得轻松许多。如算式（+3）×（-10）=-30，它的实际情景可以是：鞋店下午售出3双换季皮靴，每双亏10元，共亏30元。诚然皮靴数只能在非负数范围内进行取值。
第二，要交代清楚有理数乘法中所涉及的量，尤其是基准的确定和正、负的约定
即使熟练地掌握了有理数的乘法运算，无论学生还是教师，他们对有理数乘法与实际联系的东西一般都还是知之甚浅。鉴于这种状况，教材编写者想要达到使师生理解并接受的目的，很重要的一点就是把两个有理数乘法时所涉及到的三个量交代清楚，特别是讲清楚三个量基准的确定和正、负的约定．这在一定程度上可以弥补教师和学生在认知基础上存在的不足。
下面的这个有理数乘法联系实际例子是七年级学生能够接受的，现以它为例进行剖析。
例1（1）自行车一直在向东行驶，速度4米/秒，则10秒钟前自行车位于现在位置的西边40米处；（2）自行车一直在向东行驶，速度4米/秒，则10秒钟后自行车位于现在位置的东边40米处；（3）自行车一直在向西行驶，速度4米/秒，则10秒钟前自行车位于现在位置的东边40米处；（4）自行车一直在向西行驶，速度4米/秒，则10秒钟后自行车位于现在位置的西边40米处。
分析此例涉及三个量：速度、时间和路程（严格来讲应该是“位移”，“位移”是物理学术语），它们分别以“米/秒”、“秒”和“米”做为单位。这些师生都是知道的，因此，关键是讲清楚需要确定的三个基准，并约定三对相应的正、负：速度方面以静止时为基准，并约定向东行驶为正，向西行驶为负；时间方面以当前时刻为基准，并约定以后的时间为正，以前的时间为负；路程方面以现在位置为基准，并约定现在位置的东边为正，现在位置的西边为负（当确定了其中二个量的基准，并约定相应的正、负后，第三个量基准的确定以及约定相应的正、负，应注意与前面的二个相对应。事实上三个量在规定时，它们之间必定存在着某种制约关系）。有了这些规定，大家很容易得出例1中的四个例子分别对应以下四个算式：（1）（+4）×（-10）=-40；（2）（+4）×（+10）=40；（3）（-4）×（-10）=40；（4）（-4）×（+10）=-40。
第三，要尽可能多地找到两个负数相乘联系实际的例子，特别是符合七年级学生认知水平的例子
两个负数相乘与实际联系的例子中，要找到符合七年级学生认知水平的，确实是一件非常难的事。而且这些例子基本上是与时间有关的，所以说它们之间是非常相近的。除了前面介绍的两个例子，其它的如水位升降；又如仓库库存的增减；等等。这里举仓库库存增减的例子供读者参考：
例2现在是仓库关闭的时间，最近一个阶段，仓库的库存粮食每天都要（1）增加20吨，则3天后仓库库存粮食比现在多60吨；（2）减少20吨，则3天后仓库库存粮食比现在少60吨；（3）增加20吨，则3天前仓库库存粮食比现在少60吨；（4）减少20吨，则3天前仓库库存粮食比现在多60吨。
有关三个量基准的确定和正、负的约定请读者自行思考。
但是，两个负数相乘联系实际的例子并不缺乏。只是有些例子不太适合或根本不适合七年级学生的认知水平。笔者在这里也举一些供读者参考：
在股票的交易中，若不考虑交易费用以及其它的一些细小因素，则也可以从中找到两个负数相乘时的实际例子。
例3（1）甲前一阵子买入某种股票5000股，现在这种股票每股上涨3.2元，按目前形势来看，他上次的交易行为可以使自己收益16000元；（2）甲前一阵子卖出某种股票5000股，现在这种股票每股上涨3.2元，按目前形势来看，他上次的交易行为使自己损失16000元；（3）甲前一阵子买入某种股票5000股，现在这种股票每股下跌3.2元，按目前形势来看，他上次的交易行为使自己损失16000元；（4）甲前一阵子卖出某种股票5000股，现在这种股票每股下跌3.2元，按目前形势来看，他上次的交易行为可以使自己收益16000元。
说明这里以没有买卖为基准，并约定买入为正，卖出为负；以股价不变为基准，并约定股价上涨为正，股价下跌为负；以没有损益为基准，并约定有收益为正，有损失为负。则例2中的四个例子分别对应以下四个算式：（1）（+5000）×（+3.2）=16000；（2）（-5000）×（+3.2）=-16000；（3）（+5000）×（-3.2）=-16000；（4）（-5000）×（-3.2）=16000。
物理与数学的联系非常密切，物理中蕴藏着很多有关两个负数相乘联系实际的例子。
例4（1）物体以5米/秒的速度向左运动，同时受到100牛顿的向左拉力，则拉力对物体做正功，功率500瓦；（2）物体以5米/秒的速度向左运动，同时受到100牛顿的向右拉力，则拉力对物体做负功，功率500瓦；（3）物体以5米/秒的速度向右运动，同时受到100牛顿的向左拉力，则拉力对物体做负功，功率500瓦；（4）物体以5米/秒的速度向右运动，同时受到100牛顿的向右拉力，则拉力对物体做正功，功率500瓦。
有关三个量基准的确定和正、负的约定这里从略．物理中其它比较简单的例子如拉力对物体的做功问题：；又如带电粒子在电场中的受力问题：；等等。