一类基于分级聚类的可解释性模糊建模方法的研究(三)

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二次聚类
使用模糊C均值聚类算法进一步处理由一次聚类产生的聚类中心，因为这些聚类中心是由相应的密度指标所决定，所以在最后的模糊分区划分时应考虑到相应样本的密度指标的不同，为解决这个问题，使用加权模糊C均值聚类算法处理由一次聚类产生的聚类中心，相应的加权模糊C均值的目标函数为：
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其中为最终的聚类数，为分区矩阵，是最后的聚类中心矢量，为模糊加权指数，是与初始聚类中心相关的加权量，由下式表示：
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聚类的准则为取的极小值且约束条件为，最后所求的聚类中心和相应的隶属度函数可用下式表示：
                (11)
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高斯型隶属函数的方差可以通过计算模糊协方差矩阵来获得：
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一旦确定了模糊模型前件的参数，即可利用最小二乘法估计模糊模型的后件参数。
加权FCM算法：
Step1：选择聚类数，加权指数，和聚类中心的初始值。
Step2：使用公式(12)计算隶属度函数值。
Step3：利用公式(11)计算更新聚类中心的值。
Step4：如果，则停止，否则转到Step2。
模糊规则数目的确定，即在模糊聚类中确定聚类的数目，是模糊建模的一个首要问题。聚类有效性分析就是寻找最优的聚类数目，文献[30]提出的紧密/分离性函数（XB：Xie-Beni index）利用了隶属函数信息和数据本身的信息，本文使用加权紧密/分离性函数，其最小值对应最优的聚类数目，对模糊指数m的鲁棒性强，融合了数据的几何结构信息：
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模糊集合的相似性融合
经过两级聚类算法和最小二乘估计得到的初始模糊模型，其隶属函数（模糊集合）可能存在冗余，表现为模糊集合间存在过度的交叉或重叠，从而难以赋予相应的语义值，降低了模型的可解释性，因此需要对每个变量的隶属函数进行相似性分析和融合．
模糊模型的隶属函数存在三种类型的冗余：第一种是两个隶属函数相似，这是最常见的模糊集合冗余形式；第二种是隶属函数以较大值覆盖整个论域；第三种是隶属函数接近于单点集合。
第三种的隶属函数冗余，由于其不存在可解释的实际意义，一般在对应的规则前件中直接去除即可。对于第二种的隶属函数冗余，在去除该规则后，建模误差在允许范围内，则为了提高可解释性，可将该规则删除，实现规则约简，否则保留该规则。
第一种冗余，本文采用相似性测度来评判两个隶属函数的相似性。对模糊集合A和B，其相似性测度定义如下[34]：

其中表示集合的基数，和算子分别表示集合的交和并。
对于离散论域X={xk | k=1, …, N}，式（22）表述如下：

其中和分别为最小最大算子。S为定义在[0,1]间的相似性测度，S=1表示两个集合完全相等，而S=0意味着两个集合没有交叉或重叠．
如果两个模糊集合A和B的相似性测度大于预先设定的阈值，那么集合A和B可以融合为新的集合C．对于不同形式的隶属函数，确定集合C的具体方法不同，但其共同遵循的原则是集合C的支集是集合A与B的并集，集合C的核是集合A与B核的加减聚合．如对于梯形隶属函数A(a1,a2,a3,a4)和B(b1,b2,b3,b4)，融合生成的新的模糊集合为C(c1,c2,c3,c4)：c1=min(a1,b1)，c2=0.5(a2+b2)，c3=0.5(a3+b3)，c4=max(a4+b4) ．
对于本文所采用的高斯型隶属函数，由集合A和B融合生成的新集合C的参数如下：

阈值的大小直接影响模糊模型的性能，阈值越小，得到的模型的精度越低而可解释性越高，一般阈值取[0.4 – 0.7]，具体可根据实际系统的要求选择。
模糊集合融合过程需要反复迭代进行．在每一次迭代过程中，对每一个变量的所有模糊集合进行两两相似性分析，相似性测度大于阈值的两个模糊集合融合为新的集合．迭代反复进行，直到没有任何两个模糊集合的形似性测度大于阈值，然后再将第二类和第三类模糊集合删除，从而完成整个模糊集合的相似性融合过程。
模糊模型的整体优化
初始模糊模型集合相似性融合，提高了模型的可解释性，但同时降低了模型的精确性，因此采用梯度下降优化算法，提高模型的精度，为保持模型的可解释性，对梯度下降优化算法施加搜索空间约束。前件参数的变化范围为，以保证隶属函数的可区分性，后件参数变化范围为，以保证模型的局部可解释性不变。在优化过程中，当模型的参数大于其最大值（或小于其最小值）时，则将该参数强迫限定为其最大值（或最小值）．参数变化范围的确定，根据经验，一般取4-15％之间。

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