黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系(二)

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4．定义在上有界函数可积的充要条件为对任给正数，总存在某一分割，使得属于的所有振幅的小区间的总长不超过．

注：由此条件可以证明黎曼函数

在上可积

可积的条件：

1．设是可测集上的有界函数，则在上可积的充要条件为，存在的分划D使得)．（此条件与积分类似）

2．设是可测集上的有界函数，则在上可积的充要条件为在上可测（即对于中测度有限的可测集上的有界函数可测性与可积性等价）．

3．设，是上的可测函数，，则在上可积的充要条件为．

4．设在反常积分存在，则在可积的充要条件为在上反常积分存在，且有．

5．设为上可积函数列，在上几乎处处成立，且（常数），则在上可积．

§2-3黎曼积分和勒贝格积分的性质的比较

R积分的性质：

1．如果在上可积，k为常数，则k在上也可积，且有．

2．若在上R可积，则在上也可积．（注：有

但）

3．有界函数在上都可积，则在上也可积，且有．

4．设在上可积，且，则．

5．若在上可积，则||在上也可积，且有（注：其逆命题不成立，如在上不可积，但在上可积．

6．设在上可积，则，其中是中任意两点．

7．设在上可积，则在的任一内闭子区间上也可积．

8．设在上连续且非负，若有，则在上．

9．设在上可积，则在上也可积．

10．设在上可积，且在上有，则在上也可积．

11．设在上连续，且对上任一连续函数，有，则在上．

12．设在上连续，且对于所有那些在上满足的连续函数有，则则在上．

13．（黎曼-勒贝格引理）设在可积，则．

L积分的性质：

1．积分区域的可加性．设存在，，式中是互不相交的可测集，则．（注：设，是互不相交的可测集，对于任意的，不能推出．但有能得到，这与积分是有区别的，在积分中）．

2．零集上的积分．若，则．（约定当而或者而都有）．

3．关于可积函数的单调性：（1）．设都存在，且在上几乎处处成立，则，特别地若在上几乎处处成立，则．

（2）．设，在上几乎处处成立，则．（3），设在上可测，若，在上几乎处处成立，则．

4．关于积分区域的单调性．设，是的可测子集，则存在，特别地，若在上非负可测，则．

5．线性性质．

（1）设，则，（其中为常数）且．（2），设，，则．

注：若不能推出，如取，

，

则，但在上不可积．

6．绝对可积性．且在上可测，且有．由于可积函数的绝对可积性故积分是一种绝对收敛的积分，而反常积分不必为绝对收敛，因此积分不是反常积分的推广．

7．（1）唯一性定理：设在上可测，则在上几乎处处成立．

（2）设，若对于所有有界函数，均有在上几乎处处成立．（注：不能推出在上几乎处处成立．

如取，令，则，但．

8，积分的绝对连续性．设，则对于使得对中任何可测子集，只要．

9，可积函数的逼近性质．设，在上有界可积，则对于上可测的简单函数，使得在上几乎处处成立，且．

10，积分的平均连续性．设为距离空间，为距离的外测度，，其中所有的为开集，且为由导出的全有限测度，，则．（简单的说：）

11，积分弱连续性，设在上非负递减可积，且在上几乎处处成立，则．（注：逆命题不成立）

12．，则在中可积．

13．（积分变量的平移变换），则对任意的，且有

．

14．（黎曼-勒贝格引理的推广）若是上的可测函数列且满足

15． 2，对任意的有

则对任意的，有．

§2-4黎曼积分函数类与勒贝格积分函数类

积分函数类：

1．若为上的连续函数，则在上可积．

2．若是上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积．

3．若是上只有有限个第一类间断点的函数，则在上可积

4．若是上的单调函数，则在上可积．

5．设在上有界，且，若在上只有为间断点，则在上可积．

积分函数类：可积的有界函数均是可积的．

§2-5与黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理的比较

关于积分的定理有：积分的第一中值定理：若在上连续，则在上至少存在一点，使得．

推广的积分的第一中值定理：若在闭区间上连续，且在上不变号，则在上至少存在一点，使得．

积分第二中值定理：若在上为非负的单调递减函数，是可积的，则．

推论1，若在上且单增，是可积的，则．

推论2，若在上为单调函数，是可积的，则

．

关于积分的相关定理：关于积分的最大成功之处在于讨论积分与极限交换问题时将会看到着问题在积分范围内得到比在积分范围内远为圆满的解决．如，设为测度空间，，在上几乎处处成立，我们可知从的可测性可以推出它的极限函数的可测性，但能否从呢？先看下述例子．

例1 设，令，且，有

，

因为．，但在不是可积的．

例2 设，但．

上述两例说明，当，从不一定能推出，即使也不一定能保证极限符号与积分号能交换次序，我们在微积分中熟知当时，也不能保证它的极限函数，往往要加上在上一致收敛于的苛刻条件，对于积分，并不要求一致收敛于，所加条件弱得多．当讨论一般可积函数的情形时，有勒贝格控制收敛定理：设（1）是可测集上的可测函数列．（2）在上几乎处处成立，且在上可积．（3），则在上可积且．

注：（一）若将条件（3）改为在上几乎处处成立，定理结论仍成立．

（二）设，若将条件（2）改为（常数），若在上几乎处处成立或，定理结论仍成立．

再看非负可测函数类有：列维定理：设为可测集上的一列非负可测函数，且在上有（单调列），令，则．

逐项积分定理：设，若有，则在上几乎处处收敛，若记和函数为，则，且有．

积分号下求导定理：设是定义在上的函数，它作为的函数在上可积，作为的函数在上可微，若存在，使得，则

．

通过以上定理我们可以发现在极限运算与()积分运算交换次序时，只须满足存在一个控制函数g或满足单调即可．这些条件与一致收敛条件相比弱得多，在这样的条件下，极限与积分运算，微分与积分运算，积分与积分运算很容易交换次序．而在积分中有界收敛定理为：

（1）是定义在上的可积函数．

（2）

(3)是定义在上的可积函数，且有．则有

这里不仅受到条件（2）的限制，而且还必须假设极限函数的可积性，它只是控制收敛定理的一个特例

第三章实例

例1：求

解，

又

所以，又因为在上可积，

由控制收敛定理可知，=0．

而在R积分中要证明在上一致收敛是很麻烦的．

例2：设，，求证：．

证：当时，，

当时，，且有，所以

．

由黎曼积分与勒贝格积分的关系和控制收敛定理可得

．

例3：设，证明：，但在上广义可积．

证：由收敛，但发散可立得结论．

第四章总结和展望

§4-1本文总结

总结积分和积分的区别和联系如下：

在积分中我们定义了，分别为的上，下积分．可以得到：

引理：设是上的有界函数，记是在上的振幅函数，则有

．（左端为在上的积分）

定理1：设是上的有界函数，则在上可积的充要条件为在上

的不连续点集是零测度集．

定理2：若在上可积，则在上必可积，且积分值相等．

上述所说的只是上有界函数的积分，对于无界函数的瑕积分以及无穷区间上的反常积分，情况就不同了，而积分是一种绝对收敛积分，但有定理：设是递增可测函数列，其并集为且

，若，则，且有

．

特别地，当时，且在每个上都可积以及存在，则可通过计算积分而得到积分且有．

在测度积分理论下：

（1）微积分定理的使用范围扩大了，勒贝格提出当有界时，证明微积分定理的困难不大，但在是有限值且无界的情形时，只要是可积的，基本定理仍成立．他通过对导数几乎处处为零但函数本身并非常数的函数的考察，认识到在积分的意义下，任何绝对连续函数都可积的结论是正确的．因此在定理中只须满足在上的绝对连续函数，则．

（2）在进行重积分运算时，重积分化为累次积分的条件减弱了，在积分理论下，要求重积分和俩个累次积分都存在时才相等．但在积分理论下，只须可测且有一个累次积分存在即可．

（3）积分的几何意义也推广开来，将积分中曲边梯形面积推广为在上的下方图形集的测度．

（4）在关于二重积分和累次积分的关系问题上，积分反映出了它的不足之处，特别是把积分推广于无界函数的情形时，对此，勒贝格的重积分理论，使得用累次积分来计算二重积分函数范围扩大了，也就有了前面所述的富比尼定理．

（5）积分理论作为分析学中的一个有效的工具，尤其是在三角级数问题中，得到了广泛的应用，吸引了许多数学家的兴趣．

我们前面都提到积分是积分的推广，但要注意它并非是反常积分的推广，但对于非负有限函数的R反常积分有下述结果：

设是上非负有限函数，且，如果在上的反常积分存在，则在上可积，且成立．上述定理要求非负是很重要的．如在反常积分理论中，无穷积分，而在积分理论中，故在上不是可积的．这说明积分仍有它的不足之处，还有在微积分基本定理中，仍须在上可积，致使换元公式的证明很复杂．

§4-2 展望

二十世纪初勒贝格开创可列可加测度的积分论，称为实分析．并在概率论，泛函分析学科中广泛应用，理论让人感到过于抽象，但抽象性较强的理论往往适用程度较高，在此基础上的概率论和随机过程论被称为现代分析．复变函数论继续向前发展形成复分析．以函数空间为背景的泛函和算子理论，开始泛函分析的历程，三角级数论发展成傅立叶分析，二十世纪分析学的另一特征是处理高维空间中曲线和曲面，多变量函数的整体性质，这需要拓扑学知识及代数工具，形成流型上的分析．二十世纪的分析基本上解决了线性空间上的线性算子课题，目前非线性分析已成为最活跃的数学分支之一．

泛函分析的产生使分析学跃上新的高度，稀尔伯特空间，巴拿赫空间，广义函数论已成为数学家和物理学家的常识，无限维空间上的微积分学尚未诞生，此外，积分论仍在发展，黎曼积分的推广仍未完成．

虽然，积分比积分具有许多的优越性，但随着函数论等各门学科的发展，积分也暴露出了一定的局限性，因此，积分理论有待进一步发展．

参考文

[1]华师大数学系．《数学分析》（第三版）［Ｍ］．高等教育出版社，2001年．

[2]中科大高数教研室编著《高等数学导论》[M]．中国科学技术大学出版社，1996年．

[3] 张筑生编著．《数学分析新讲》[M]．北京大学出版社，1991年．

[4] 匡继昌编著．《实分析引论》 [M]．湖南教育出版社，1996年．

[5] 程其襄编著．《实变函数和泛函分析基础(第二版)》[M]．高等教育出版社，1983年．

[6] 周民强编著．《实变函数论》[M]．北京大学出版社，2001年．

[7] 赵焕光编著．《实变函数》[M]．四川大学出版社，2004年．

[8] 周民强编著《数学分析（第二册）》[M] 上海科学技术出版社，2003年．

[9] 周成林．《勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系》[J]．《新乡教育学报》．

[10] 齐民友．《积分发展看微积分教学（续一）》[J]．《高等数学研究》

致　谢

本文的研究及工作是在优秀导师项明寅副教授的关怀和悉心指导下完成的．在三年多的求学生涯中，导师以其严谨、求实的治学态度，敏锐深邃的洞察力，高度的责任心和敬业精神，平易近人的工作作风，一直深深地影响和激励着我，使我在学习上和生活上受益匪浅．

感谢汪宏建副教授在学习和工作中的教导和支持，从他身上我获得了许多宝贵的知识和经验，同时也学到了更多为人处事的道理和做科研的一种执着精神．

在课题的研究过程中，得到了张同学的帮助，支持和指点，在此表示衷心的感谢．

最后衷心的感谢对我寄予厚望、又给予我无限关怀的父母，在此论文脱稿之际，向含辛茹苦在背后支持我的父母表示由衷的感谢和崇高的敬意．

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