黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系(一)

勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系

摘 要

本文从微积分的发展过程出发引出了我们已知的黎曼积分，尽管黎曼积分的理论比较完备，但在考虑某些问题时，我们看到了黎曼积分的局限性，并通过具体的例子给予了说明．于是就有了改造黎曼积分的必要性，从而提出了勒贝格积分．本文的中心任务就是从我们已学过的黎曼积分和勒贝格积分的知识来探讨和归纳出两者之间的区别与联系，通过具体比较两者的定义，存在的条件，黎曼积分和勒贝格积分的性质、黎曼可积函数类和勒贝格可积函数类、以及与黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理，并进一步用具体的例子来说明勒贝格积分使一些黎曼积分难以解决的问题变得迎刃而解，最后总结两者之间的区别与联系．并顺便指出，勒贝格积分是黎曼积分的推广，但非黎曼反常积分的推广．

关键词：黎曼积分，勒贝格积分，区别，联系

THE DIFFERENCE AND RALATION BETWEEN RIEMANN CALCULUS AND LEBEGUE CALCULUS

ABSTRACT

This article begins from the fluxionary calculus developing process which draws out our have known Riemann integral calculus.Although the Riemann integral calculus theory is quite complete， when considered some questions， we saw the Riemann integral calculus very limit． To explain this question through the concrete examples．Therefore it is necessary to point out the Lebesgue integral calculus ．which have the very superiority compared to the Riemann integral calculus． This article’s central task is to discuss and induce the difference and the relation between the Riemann integral calculus and Lebesgue integral calculus from what we have studied the knowledge about the two kinds calculus． Specifically comparing their definition， the existence of conditions， the nature of  the Riemann calculus and Lebesgue calculus ，the Riemann integral calculus function class and Lebesgue integral calculus function class， as well as about the Riemann integral calculus and Lebesgue integral calculus there are some theorems． Furthermore through using the concrete example to explain Lebesgue integral calculus cause the question to be solved easily． Finally summarizing the two kinds integral calculus between the difference and the relation．By the way，Lebesgue integral calculus is Riemann integral calculus promotion，but It is not Riemann improper integral calculus promotion．

KEY WORDS: riemann calculus， lebesgue calculus， difference， relation 

目 录

第一章 绪 论 1

§1-1 微积分的发展史 1

§1-2 黎曼积分和勒贝格积分的引入 1

第二章 黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系 5

§2-1黎曼积分和勒贝格积分的定义的比较 5

§2-2黎曼积分和勒贝格积分的存在条件的比较 8

§2-3黎曼积分和勒贝格积分的性质的比较 9

§2-4黎曼积分函数类与勒贝格积分函数类 12

§2-5与黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理的比较 12

第三章 实例 15

第四章 总结和展望 16

§4-1本文总结 16

§4-2  展望 17

参考文献 18

致　谢 19

第一章 绪 论

§1-1 微积分的发展史

积分学的历史很早，它起源于求积问题，早在古代人们就着手计算由曲边围成的图形的面积．我国数学家刘徽力求单位圆的面积，他的方法是用许多不重叠的三角形来拟合图形，由于时代的限制他不能克服“无穷运算”的困难．古希腊时代的穷竭法、中国的割圆术和祖暅定理都是早期的积分学．关于积分的理解因为什么是无穷小，什么是不可分量而遇到困扰．古代的穷竭法也只能用于最简单的曲线所成图形的面积．如卡瓦列里用数列求和方法实际上得到不定积分，但牛顿将微分学的思想用到积分问题上，看到了积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算，也就发展了不定积分的思想，莱布尼兹主要从定积分思想看出了积分运算是微分运算的逆．总之．得到了现在的牛顿—莱布尼兹公式，即设如果是的不定积分，则它一定也是原函数，且任意两原函数相差一个常数，所以

                   ．

此公式重要性在于计算积分再也不用用古希腊的穷竭法那么冗长了，而有了系统的处理方法．因此微积分成了真正可以应用的理论了，上述公式被成为微积分基本定理，在当时，积分的概念并不清楚，而且他们遇到的函数无非是些简单的初等函数，到柯西发表他的著名的几本教科书后也就有了现时我们所了解的积分理论，现在称这种积分为黎曼积分．其实应该称为柯西积分．

§1-2 黎曼积分和勒贝格积分的引入

柯西积分的对象是连续函数的积分，当然许可在某些点上不连续或无界，即包括了现在所说的反常积分．而黎曼考虑的对象是使得积分和极限存在的函数类，或如达布所说的上下积分相等．也就所谓的黎曼可积类．黎曼可积函数许可更多的不连续点，极大的扩充了可积函数类．现在我们知道为黎曼可积的充要条件是几乎处处连续，但是还要研究具有不连续点的函数，这在数学上是十分重要的，一个直接的来源是傅立叶级数的研究，许多物理问题都导致不连续的傅立叶级数问题．处理这类问题需要更有力更细致的数学工具．因此积分理论特别是他的发展在数学推理的严格性方面要求更高，如：当仅为黎曼可积时，微积分基本定理的证明有了困难而现在通用的证明方法应用了微积分中值定理，但其中假设了是连续的．达布提出了以下的证明．

达布定理：设在 上可积，在上处处有导数，即．则有

．       （1）

证明：作的一个分划，所以

，

又由拉格朗日中值定理可得，存在，使得

．

所以

．

由于在上可积，因此当上述分划无限加细时，右边的极限即为，所以上述证明在当连续，但在有限多个点上不成立时也是有效的，只是将这有限多个点列入分点之内即可．

上述证明虽然很简单，易理解，但并未解决问题．因为黎曼可积函数只是几乎处处连续，而将所有不连续点均归入分点之内是办不到的．

另一个例子是关于二重积分化为累次积分的问题，设在长方形区域：

中连续，则必连续．有著名的富比尼定理成立．即

，   （2）

关键在于若对连续，则对于固定的，是的连续函数，因此，存在且作为一个含参变量的积分，它是的连续函数，而是有意义的，因此上式是很自然的结果．但若只是黎曼可积时，则对于固定的，是否为的黎曼可积函数甚至是否对几乎所有，是否为的黎曼可积函数均是个问题，因此不一定有意义，但上下积分仍有意义，因此关于黎曼可积的的二重积分，富比尼定理为：若是在中的可积函数，则有

、

 （3）

此式的意思为内层的上下积分均是参数的黎曼可积函数，而且其积分就等于二重积分，记，在上也是黎曼可积的，且有，则由此是否可得到至少几乎处处有呢？即对几乎所有的均存在，则（3）式就变为（2）式了．但是若一个非负黎曼可积函数积分为0，则此函数几乎处处为0，这证明很难的，而对勒贝格可积函数，（3）式结果是成立的．在黎曼积分中重积分化为累次积分所要求的条件比勒贝格积分理论中要多，从副比尼定理中可知只要重积分存在，它就和两个累次积分相等，这是勒贝格积分的另一成功之处．

从上述两例子可看出，黎曼积分虽然比较简单，但一旦要考虑可能在一个零测度集上不连续的黎曼可积函数一些本来很自然的结果变得很难证明了，甚至可能不成立，尤其是不能在积分号下求极限，故黎曼可积函数类缺乏完备性，有其内在的局限性．

随着微积分学的发展，人们在利用黎曼积分时，感到它有很大的局限性，这要从黎曼积分的起源说起，我们知道黎曼积分的思想方法是“分割，近似求和，取极限”第一个提出分割区间做和式极限严格定义积分的是柯西．他考察的积分对象是  上的连续函数，因此黎曼积分在处理诸于逐段连续的函数以及一致收敛的级数来说是足够的．然而随着集合论的一系列工作的创始，出现一些“病态”函数，在研究它们的可积性时．黎曼积分理论面临了新的挑战．特别是考虑可积函数的连续性和极限与积分次序交换问题以及微积分基本定理和可积函数空间的完备性方面．

如：（1）狄里克雷函数，由定义可证不是黎曼可积的，因此必须扩大积分的范围．

(2)在处不连续，但它是非一致收敛的，但此例子说明函数一致收敛只是极限与积分运算交换次序的充分而非必要条件，但一致收敛是非常强的条件，我们要考虑能否将条件减弱呢？

（3）在微积分基本定理中 ，必须可积的，但我们知道存在着可微且导数有界的函数，但其导数不是可积的．因此限制了微积分基本定理的应用范围．

随着数学的向前发展，人们发现了许多问题在积分中都无法给出圆满的解决，科学不断的前进，积分论在进一步革新．二十世纪初勒贝格提出了积分，它为现代分析数学打开了大门，积分的提出使许多问题变得迎刃而解了．

我们知道积分是用勒贝格积分和代替黎曼积分和，引入测度来推广长度，概率论就是以测度作为基础的，与黎曼积分比较，勒贝格积分虽然克服了它的许多缺点，但任何一种理论都不是十全十美的，积分也有它的缺点，如在应用时测度比长度就要麻烦．

第二章 黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系

§2-1黎曼积分和勒贝格积分的定义的比较

黎曼积分与勒贝格积分的定义：

的定义是从求曲边梯形的面积所引入的．其定义为：设在上有界，对作分割，即

，

记，（称为分割的细度）在分割所属的各个小区间上任取一点，则构成一个属于的介点集，作和式，称此式为在上属于分割的一个积分和或称黎曼和，记为，故有定义为：设为定义在上的函数，是一确定的数，若对任意的，总存在某一，使得上的任意分割，只要，属于分割的所有积分和都满足，则称在上可积．称为在上的定积分．记为=．

关于积分我们知道它的思想是“分割，近似求和，求极限”，这里的分割是指分割定义域．在此定义中的可积性与的存在性是统一的，但在应用中要求预先知道的值是不现实的．因此我们提出积分的另一定义，如下：  

设在上有界，对作分割，即其中令

．

．

分别称为（）上积分和（）下积分，如果（）上，下积分积分相等则称 在上可积．将上，下积分的公共值记为 在上的积分，记为．

我们已知，测度是长度的推广，上述即为的测度，则启发我们为推广（）积分可以考虑将区间的分割推广为测度空间中具有有限测度的集的分划，而且对于上的有限正值函数，为使在可积，按照积分的思想，必须使得在分割后，在多数小区间上的振幅足够小，这使得具有较多激烈震荡的函数被排除在可积函数类外．因此勒贝格提出了从分割值域入手的积分．即任给，作，其中，分别为在上的下界和上界．令，，如果存在，则定义为．

而对于一般可测函数的积分定义为：设在可测集上可测，若记，则有，若

 不同为 ，则称在上积分确定且有

，

当此式右端右边两个积分值都有限时，称在上可积．

积分是建立在勒贝格测度论的基础上，可以统一处理有界和无界的情形，而且函数可定义在更一般的点集上．

为了与积分联系起来，我们还给出（）积分的另一定义为：设为测度空间，在 上有界，对做分划 T，，其中所有的都可测 且  ，令 

令，分别称为（）上，下积分．如果，则 在上可积，并称 () 上，下积分的公共值为在上的积分，记为．这种定义直观，易接受，只是它过分的套用了积分定义的模式，掩盖了的优点．

以上是测度有限可测集上有界函数的积分定义，我们看到它在形式上同积分除了“积分区域”更一般外，主要不同之处在于采用了测度和分划的不同，即区间一律换成了可测集．

注：当，记为．特别地当，记为．比较两者定义可知，将分划成小区间是将分划成可测集的特殊情况，故必有

．由此式可知，当在上可积时即

时必有．

所以当在上可积时，则在上必可积，但反之不一定成立．如定义在=[0，1]上的狄利刻雷函数，我们已知不是可积的，但由积分的定义可以证明是可积的，且有．

由上述过程可知，()积分的建立是通过分割定义域，对和式求极限而得来的，这只是在每个小区间上所取值的改变而引起的，的变化极小或者即使变化较大，但改变较小时，才可积．而积分却改变了这种现象，它是对的值域进行分割，把函数值相差不大的点结合在一起，从而扩展了可积函数类，使得好多问题变得迎刃而解了．因此对定义域和值域的分割是积分和积分的本质区别．实际上设定义在集E上，对作分划 ， 令， 则当在上可测时所有的也可测且   ，．则得到了的相应的分划．

这时          ， 

因此对的值域作分划D实质仍然是为了对的定义域作分划．

§2-2黎曼积分和勒贝格积分的存在条件的比较

可积的条件：

（一） 可积的必要条件是在上有界．（这说明，任何可积函数必须有界，但有界函数未必可积，如狄里克雷函数，这与积分不同，积分可以是无界的）

（二）可积的充要条件有：

1．定义在上有界函数 可积的充要条件为在上的上积分等于下积分，即

．

2．定义在上有界函数 可积的充要条件为，总存在某一分割，使得

．