微积分的地位与《数学分析》学习

微积分的地位与《数学分析》学习
 近几十年来，以计算机技术和宇航技术为先导的新技术革命的兴起和发展，促进了新的产业体系的形成，促进人类进入了信息社会、知识经济时代，使人类社会生产力得到巨大发展。
 我们知道：数学的强大生命力在于对社会进步的贡献，这种贡献表现为以下四方面：1、数学为其他学科提供语言、概念、思想、理论和方法，推进和提高整个科学技术（特别是高科技）水平；2、直接应用于工程技术、生产活动、经济管理，推动经济的发展；3、作为高等教育和基础教育的一门重要学科，对科技、工程技术人才，乃至经济管理人才的培养起着决定性的作用；4、是作为一种文化，对全体人民的科学思维和文化素质起着潜移默化的作用。①
 正是出于提请美国政府和社会对于发展数学科学的重视，美国国家研究委员会自1984年以来两次提出了关于发展数学科学和数学教育的四份报告。②这些报告指出：我们所谓的高科技时代，就是“信息时代”！“计算机对数学的影响大大地拓广了数学模拟工作者的活动舞台，他们现在已经能够通过计算机可靠地模拟非常复杂的物理现象。计算机在科学和工程技术的所有部门都有广泛的应用，所以它在一些关键技术--如微电子线路的制造和对流体流动规律的认识的发展方面起着重大的作用。针对特定的技术去开发适当的模拟，常常牵涉到一些高深的科学知识和数学工具，数学的作用在于表示这种模拟型并对它进行计算。”报告说，“对所有学生进行优质的数学教育是兴旺发达的经济所必需的 。因为数学是科学和技术的基础，所以它是机遇和职业的关键”！这些报告特别指出：未来社会最好的工作和岗位，属于准备好了处理数学问题的人，而“数学上的 文盲既是个人的损失，又是国家的债务”！
 在我们这个“高技术”时代，任何一个国家的实力都取决于其高技术发展的程度，取决于其科学技术发展的程度，取决于教育事业发展的程度。在我国，其中尤为重要者，则是应该大力发展数学科学，使我国成为一个“二十一世纪的数学强国”，为此，我们务必建立一个与新时代的“高科技”的需求相适应的数学学习体系。在数学学习中，微积分的学习有着其独特的作用。十七世纪，由费尔马等开始，经过了差不多一个世纪的酝酿，最后由牛顿、莱布尼兹创建了微积分理论，并很快显示出其非凡的作用。它不仅是数学史上的 一个分水岭，而且是整个人类文明史的一件大事。正如恩格斯所指出，在一切理论成就中，未必有什么其它的发明像微积分那样，被看作是人类精神的最后胜利了。其后，经过两百余年的不断完善，由柯西、维尔斯特拉斯最后奠定了坚实的理论基础。微积分理论是基于工业革命发展生产技术的需要而产生，它的广泛应用又反过来深刻、惊人地影响生产技术和理论科学的发展，是工业文明的最具有特殊意义的、最有代表性的产物。在现代，它的应用范围与日俱增。可以毫不夸张地说，没有微积分知识，任何一门科学几乎都不能发展。
 微积分理论是几乎所有高等数学的必备基础，“它是数学方法上一个有力的、精美的范例，不但引出数学的主要应用，还引出主要理论。微积分语言已经渗透到所有科学领域，她所传授的对于变化本质的洞察力是有教养的人所不可缺少的。”正如美国国家委员（方企勤等译）《人人关心数学教育的未来》中所强调指出的“成功的微积分教学对于数学与科学的健康发展是至关重要的 》”这种状况说明，现代信息文明对学习微积分理论的《数学分析》提出了更新更高的需求。
 作为高等学校的《数学分析》课程，已经形成一套较为完整、相对固定的理论体系。但对我们远程学习的学生来说是以自学为主，只能以书本上的“公理、定义、例题、习题”为载体将有关知识以定论方式、记忆方式获得知识。这种传统的方式，束缚了的思维和独创性的发展，有碍于数学建模的能力、自学能力、解决问题的能力的培养。这与现代的信息文明的高速发展的要求是格格不入的。在这种激烈冲突中，充分利用数学方法论的知识进行学习《数学分析》尤为重要。
 数学的学习过程是学生在教师的指导下通过数学思维活动，学习数学知识发展数学思维的过程。在这个过程中，学习数学的过程与数学的发现过程是同步的，数学思维结构的形成发展与数学的思维结构相似、接近的。但是，我的学习是网络学习，与教师面对面的时间有限，在一定程度上数学思维的发展是有局限的，所以充分利用数学方法论的知识尤为重要。“数学方法论着眼于数学活动过程中数学概念的形成，数学思维的产生，数学方法的运用，着眼于数学问题解决的提出、探索和解决，这就充分揭示数学思维过程，培养分析问题解决问题的能力。”因此，在学习过程中应该重视数学思想方法的运用，从而更好地培养自己的能力，提高学习效率。
 （1`）结合辩证法，使变换思想和极限思想贯穿整个《数学分析》的学习。
 我们知道，形成微积分理论的主要思想是变换思想和极限思想。为了真正认识微积分理论的实质，我们应该结合辩证法，使变换思想和极限思想贯穿于整个学习过程中。
 在数学史上，常量数学向变量数学的转换是一个伟大的转折，起指导作用的数学思想就是反映常量与变量的对立统一关系的变换（映射、函数）思想。
 例如：求             之和.这是一个数学竞赛题,如果用一般方法来解决是较难的,

我把这个求和问题转化为求函数s(x)=             在x=1/2时的值,即是把这个静态求值问题,

转化为动态函数问题,从而使问题得到解决.由于当x≠1时有                         
对此式求导再乘以x,然后再求导再乘以x,就得到              

s(x)=             =

于是有:s(1/2)=6-(n2-4n+6)/2n,极限思想虽然源于古代,但它的确立、完善及其巨大作用的显示，与微积分理论的建立和发展密不可分的，也是微积分理论的基本思想。极限思想是在有限与无限、离散与连续的对立统一中体现了量变到质变的辩证关系。
 2、抓住主要的数学方法，例如抽象分析法、数学模型发、RMI方法、化归法等等.对于多元函数积分学中的Green公式、Gauss公式以及Stokes公式等积分公式这一难点运用有关的数学方法，如抽象分析发、RMI方法等，则将会收到较好的效果。下面看微积分学基本定理。
 定理1（Newton--Leibniz公式）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，若F(x)是f(x)在 [a,b]上的一个原函数，则
 从数学方法论的角度来看，定理1的思想实质是：利用这个公式，把含有目标原象的数学关系结构系统S—-定积分问题，由所得到的可定映映射ØN-1（我们把由公式(N-L)所给出的映射，记为ØN-1下同），把S映入映象关系结构系统S’——不定积分问题，使其在此映射下的目标映象为
                                                        
再通过不定积分的有关方法，即通过定映手续ψ求出这个不定积分，再利用Newton--Leibniz公式。即反演映射Ø-1N-1计算出F(b)-F(a),从而使问题得到解决。运用这种方法解决定积分的计算问题的过程，用下面的框图表示。这个定理将定积分问题化归为求原函数问题。沟通了微积分学与积分学这两个重要数学领域，奠定了微积分学的基础。再从下面的：                                                  
 定理2（Green公式）若函数P(x,y),Q(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有其中L为区域D的边界曲线，且取正向。
 定理3（Gauss）公式）设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面∑围城。若函数Q(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上连续，且有一阶偏导数，则有
其中，∑取外侧.
    定理4（Stokes公式）设光滑曲面∑的边界L是按段光滑的连续曲面，若函数P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z)在∑（连同L）上连续，且有连续的一阶偏导数，则有
 
其中，∑的侧面与L的方向由右手法则确定。
   可以看出，Green公式给出了闭区域D上的函数的二重积分与D的边界曲线L上的二型积分之间的可定映映射φGral沟通了它们之间的联系。同样的，φGra是沟通空间闭区域V上的三重积分与V的边界曲面∑的第二型曲面积分之间联系的可定映映射，而φ,则是沟通光滑曲面∑上的第二曲面面积分与∑的边界曲线L的第二型曲线积分之间的联系的可定映映射。如果我们把F(x)在点a的函数值F(a)也看成它在0维区域：点a上的积分的话，上述四个定理则有着其显著的共同点——它们都分别给出了在某个闭区域上的一个函数的积分与具有该函数的“原函数”性质的另一个函数在该区域边界上的积分的关系，从而沟通了这两类积分问题。我们还可以用更高的观点得到更为一般的定理：
 定理5（一般形式的Stokes公式）设△是Rn空间中的k+1维闭区域（k为自然数，0≤k＜n＝,α△是△的边界，是的k维闭区域，则有其中ω，表示Rn中的k次微分形式，dω是ω的外微分。
 这个定理非常简洁地把上面四个定理统一起来，并推广到Rn空间，它还揭示了外微分运算与积分之间的“抵消作用”。在现代数学意义之下它可以称为Rn空间的“微积分学基本定理”。从数学方法论的角度来看，它给出了高维区域上的积分与低一维区域上的积分之间的可定映映射φs。因此，在进行有关的多元积分学知识的学习时，我们可以事先从复习New-ton-Leibniz公式着手，用上述观点逐步认识Green公式,Gauss公式以及Stokes公式的实质，并统一地加以分析、证明和应用。
 参考文献：
 ①王梓坤，今日数学及其应用，数学通报，1994年7期，第15页
 ②吕瑞芳，《多媒体程序设计》，《金华教育》2004年第4期，第28页