自动灌溉洒水系统的定位和移动的设计(二)

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每个花洒莲蓬头的压强是一样的；
水管放置的空间可能没有被喷到，可以忽略；
认为洒水过程中水蒸发的损失可忽略
符号说明
，管内的伯努力常量；
，喷头处的伯努力常量；
，管内压强；
，喷头口大气压强；
，水的密度；
，空气密度；
，喷头口喷水速度；
，管内水源的速度；
，管内水源的流速；
，水管的内横截面积；
，进入水管内水的流量；
，从喷头喷出水的流量；
，喷头的横截面积；
，水从喷头喷洒出后形成圆的半径；

模型的建立与求解
喷头的流速计算

在管内，水源满足理想流体的条件，管内水源的量与喷头喷出水的量是相等的。我们建立管内水源的伯努力方程：

则

又

可以解得

这个速度对于大型应用，例如大型农场，我们计算的结果在可接受的范围之内。
注意到伯努力方程的适用范围与水管的大小是无关的。因为水的流速是恒定的，即单位时间内流出的水量与流入的是相等的，也就是
，

根据整条水管的流速是，我们可以计算出最多需要的喷头数目为个。如果喷头多于个，喷头喷出的水的速度就不能形成喷雾，而只是从喷头里面以较小的速度流出来，故喷头数目应该小于或者等于个。

喷洒覆盖模型

在喷头处，水是沿各个方向均匀喷出的。由于水源本身受到压力，在喷出时，我们知道水滴会以一个初速度作类抛物线运动。以下根据运动学及流体力学的知识，从微观的角度，分析一个水滴的运动过程。
水滴在空中运动的过程中，受到了重力和空气阻力的作用。首先，对能够达到最远射程的一个水滴的运动过程进行分析。从喷头喷出时速度记作，假设初始运动方向与水平方向的夹角为，将运动过程分解为水平和竖直两个方向来考虑。水平方向只受到了空气阻力的作用，而在竖直方向上，水滴受到了重力和空气阻力的作用。建立微分方程模型如下：

在这里将水滴看成球形，质量为，受到空气阻力的面积为球体的最大横截面积，为空气阻力系数，为空气密度，为重力加速度。通过查阅相关资料得到，空气阻力系数，空气密度。
水滴半径的大小与水源压强、喷头孔的大小等有关，比如水源的压力越大，水滴的半径越小。但为了使问题得到简化，我们取水滴半径固定不变，同时取。
通过上述分析，我们采用matlab中的ode45函数求解上述微分方程，解得：

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