有限总体方差的模型无偏估计(二)

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下面我们考虑形如（此处和均为常数）的估计量的模型无偏性。我们有下述结论：

定理2 估计量是总体方差的模型无偏估计的充要条件是，，以及 .

证明：由附录的（A.1）式和（A.2）式可知，的充要条件是下式对任何和都成立：
（3）
显然，当，，以及时，（3）式成立，故充分性成立。现证必要性。在（3）式中令以及可知。将此代入（3）式然后令可得。最后将，代入（3）式即得
. 定理证毕。

由定理2可以看出，当时，是估计类
和是常数
中唯一的模型无偏估计。因此如果我们采用目的抽样使得，则将是一个好的估计量。

3．模拟计算
上节我们构造了总体方差的模型无偏估计。一个需要考虑的问题是纠偏后的估计其方差是否会增加？也就是说，得与失的综合效果会怎样？在本节中我们通过模拟计算来比较比率型方差估计量和我们所提出的模型无偏的方差估计量的均方误差（MSE）。

我们假定误差服从正态分布，并取 . 我们使用分布来产生辅助变量的值（这种方法在文献中经常被使用，如见Durbin (1959) 和Wu (1982)），然后在给定的和值下由模型（1）产生 . 由此即得总体的值。从中随机抽取个。这样，利用可得，利用（2）式可得 . 重复次，再使用下面的公式计算均方误差：
， .
计算结果见表1。从表1可以看出，本文所提出的方差估计量较比率型方差估计量具有更小的均方误差，因此综合效果更好。

4．讨论
本文给出了总体方差的一个模型无偏估计，模拟结果显示，该估计较之通常的比率型方差估计量也具有较小的均方误差。我们也研究了通常的比率型估计量的线性函数之模型无偏性并获得了充要条件。我们提出的估计量（见（2）式）其表达式看起来有些复杂，但利用计算机进行计算并不会引起麻烦，因此我们希望本文的结果能对实际的抽样调查工作者有所帮助。

由附录的（A.1）和（A.2）式知，通常的方差估计量也不是模型无偏的，但在简单随机抽样下却是模型-设计无偏的。显然，我们的估计量在任何抽样方案下都是模型-设计无偏的。

在实际的抽样调查中，常常会有缺失数据，因此考虑缺失数据情形下与本文相应的问题也是有趣的（缺失数据的处理方法可参见Rao (1996)，金勇进(1996)），这有待于我们今后进一步的研究。

致谢：作者衷心感谢审稿专家的宝贵修改意见。

参考文献

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[10] 金勇进(1996): 非抽样误差分析，北京：中国统计出版社.

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