感应电机仿真与建模(三)

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图2：三相感应电动机的物理模型

感应电动机的动态模型由磁链方程、电压方程、转矩方程和运动方程组成。其中，磁链方程和转矩方程为代数方程，电压方程和运动方程为微分方程。

（1）磁链方程

感应电动机每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可用下式表示：

式中，L是6×s6电感矩阵，其中对角线元素LAA、LBB、LCC、Laa、Lbb、Lcc是各有关绕组的自感，其余各项则是绕组间的互感。

（2）电压方程

三相定子的电压方程可表示为：

u A =iARs+dψA/dt

u B =iBRs+dψB/dt

u C =iCRs+dψC/dt

方程中，UA、UB、UC为定子三相电压；iA、iB、iC为定子三相电流；ΨA、ΨB、ΨC为定子三相绕组磁链；Rs为定子各相绕组电阻。

三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程为：

u a =iaRΥ+dψa/dt

u b =ibRΥ+dψb/dt

u c =icRΥ+dψc/dt

(3)电磁转矩方程

TM=CM1ΦmI2′COSφ2′

式中，Φm为主磁通，I2为电流。

(4)运动方程

Te-Tl=J/np*dω/dt

式中，Te为电磁转矩；Tl为负载转矩；ω为电机机械角速度；J为转动惯量。

3.2坐标变换

3.2.1坐标变换的基本思路

感应电动机三相原始动态模型相当复杂，简化的基本方法就是坐标变换。感应电动机数学模型之所以复杂，是因为有一个复杂的电感矩阵和转矩方程，它们体现了感应电动机的电磁耦合和能量转换的复杂关系。要简化数学模型，须从电磁耦合关系入手。

3.2.2三相-两相变换（3/2变换）

三相绕组A、B、C和两相绕组之间的变换，称作三相坐标系和两相正交坐标系间的变换，简称3/2变换。

图3：三相坐标系和两相正交坐标系中的磁动势矢量

ABC和两个坐标系中的磁动势矢量，将两个坐标系原点重合，并使A轴和a轴重合。按照磁动势相等的等效原则，三相合成磁动势与两相合成磁动势相等，故两绕组磁动势在αβ轴上的投影应相等，因此

写成矩阵形式

按照变换前后总功率不变，匝数比为

则三相坐标系变换到两相正交坐标系的变换矩阵为：

两相正交坐标系变换到三相坐标系（简称2/3变换）的变换矩阵为：

3.2.3 静止两相-旋转正交变换（2s/2r变换）

从静止两相正交坐标系αβ到旋转正交坐标系dq的变换，称作静止两相-旋转正交变换，简称2s/2r变换，其中s表示静止，r表示旋转，变换的原则同样是产生的磁动势相等。

图4:静止两相正交坐标系和旋转正交坐标系中的磁动势矢量

旋转正交变换矩阵为：

静止两相正交坐标系到旋转正交坐标系的变换矩阵为：

旋转正交坐标系到静止两相正交坐标系的变换矩阵为：

3.3状态方程

旋转正交坐标系上的感应电动机具有4阶电压方程和1阶运动方程，因此须选取5个状态变量。可选的状态变量共有9个，这9个变量分为5组：①转速；②定子电流；③转子电流；④定子磁链；⑤转子磁链。转速作为输出变量必须选取。其余的4组变量可以任意选取两组，定子电流可以直接检测，应当选为状态变量。剩下的3组均不可直接检测或检测十分困难，考虑到磁链对电动机的运行很重要，可以选定子磁链或转子磁链。

以为状态变量在坐标系中的状态方程:

（1）选取状态变量:

(2)输入变量:

(3)输出变量:

(4)坐标系中的磁链方程:

Ψsa=Lsisa+Lmira

Ψsβ=Lsisβ+Lmirβ

Ψra=Lmisa+Lrira

Ψrβ=Lmisβ+Lrirβ

考虑到转子内部是短路的，所以电压方程为:

dΨsa/dt=-Rsisa+usa

dΨsβ/dt =-Rsisβ+usβ

dΨra/dt=-Rrira+ωΨrβ

dΨrβ/dt =-Rrirβ+ωΨra

由此可得出：

所以转矩方程:

Te=npLm(isβΨra-isaΨrβ)/Lr

状态方程：其中为电动机漏磁系数， σ=1-Lm2/LsLγ

所以感应电动机在坐标系中，以为状态变量的动态结构图如图5示，搭建的仿真模型如图6所示：

图5：感应电机动态结构图

图6：搭建仿真模型

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